Problema 2.25

Rotaţiile spaţiale sunt necomutative.

Rezolvare: Un exemplu demonstrează afirmaţia făcută în titlu. Astfel să denumim, pentru simplitate, axele Ox, Oy, Oz respectiv cu axa 1, axa 2 şi axa 3. Atunci, dacă facem două rotaţii succesive, de 90o , prima în jurul axei 1 şi a doua în jurul noii axe 2, se obţine corpul aşezat ca în fig.2.25.a,  figura de sus dreapta. Dacă facem două rotaţii de 90o mai întâi în jurul axei 2 şi apoi în jurul axei 1 se obţine corpul aşezat ca în fig.2.25.a, jos dreapta. Cele două poziţii ale corpului sunt, în mod evident, diferite. Să facem şi calculul:

;   ;

;

; 

Pentru prima succesiune de rotaţii, unghiul de rotaţie este dat de:

,

în jurul axei care are parametrii directori determinaţi de ecuaţiile:

sau, dacă se alege e1 = 1:

.

Această axă va fi deci determinată de vectorul:

Pentru a doua  succesiune de rotaţii, unghiul de rotaţie este dat de:

deci la fel ca în primul caz, dar în jurul axei care are parametrii directori determinaţi de ecuaţiile:

sau, dacă se alege e1 = 1:

.

Această axă va fi deci determinată de vectorul:

Cei doi vectori în jurul cărora are loc rotaţia finită 

   respectiv     sunt deci diferiţi, unghiul de rotaţie fiind în ambele cazuri, 120o.

Problema 2.1

Problema 2.2

Problema 2.3

Problema 2.4

Problema 2.5

Problema 2.6

Problema 2.7

Problema 2.8

Problema 2.9

Problema 2.10

Problema 2.11

Problema 2.12

Problema 2.13

Problema 2.14

Problema 2.15

Problema 2.16

Problema 2.17

Problema 2.18

Problema 2.19

Problema 2.20

Problema 2.21

Problema 2.22

Problema 2.23

Problema 2.24

Problema 2.26

Problema 2.27

Problema 2.28

Problema 2.29