Să se determine legea de transmitere pentru mecanismul cardanic din fig.2.24. considerând rotaţia finală ca o succesiune de trei rotaţii plane.Rezolvare: Legea de transmitere pentru un mecanism cardanic ca în fig. 2.24 este dată de:
,
obţinută utilzându-se formulele din geometria sferică. În cele ce urmează formula prezentată anterior va fi dedusă utilizându-se proprietăţilor vectorilor şi valorilor proprii pentru o matrice ortogonală. Cu notaţiile din fig.2.24 se poate scrie:
unde s-a notat:
etc. Matricele , , reprezintă matricele ortogonale de rotaţie care fac trecerea de la un sistem local de referinţă la altul iar matricea care face transformarea de la sistemul ataşat de arborele de intrare şi sistemul ataşat de arborele de ieşire este:
.
Condiţia ca
să fie vector propriu pentru matricea
este ca:
sau:
Efectuând calculele, rezultă:
.
Din prima ecuaţie se deduce imediat:
De aici rezultă:
.
Introducând aceste valori în ecuaţia a doua din sistem, se obţine:
sau:
sau încă:
Dar:
.
Atunci, dacă notăm:
,
se obţine:
cu soluţia convenabilă:
Obţinem atunci şi:
.
Pentru a determina legea de transmitere vom scrie primul invariant al matricei:
.
Dacă facem înlocuirile, se obţine:
.
Rezultă:
,
de unde:
.
Viteza unghiulară a furcii conducătoare faţă de sistemul de referinţă
este:
Viteza unghiulară a crucii faţă de furcă în sistemul
este:
.
Dacă se derivează
obţinut anterior, se obţine:
sau:
Cu notaţia:
se obţine:
deci:
.
Derivând legea de transmitere a transmisiei cardanice, se obţine:
sau:
Cu notaţia:
rezultă:
şi se obţine şi viteza absolută a crucii cardanice cu relaţia:
.