Problema 1.15

Fig.1.15.a. Epicicloida şi hipocicloida    

Rezolvare: a) Dacă un cerc mobil derază r se rostogoleşte peste un cerc fix de rază R avem AT=TM, deci  

 .Ecuaţiile parametrice ale traiectoriei sunt:

 ;

 .

Prin derivări succesive se obţin expresiile vitezei şi acceleraţiei. Pentru viteză avem relaţiile:

 ;

.

Lungimea arcului de epicicloidă se obţine, prin calcul,

.

b)               Dacă cercul mobil de rază r se rostogoleşte în interiorul cercului de rază R avem, din egalitatea AT=TM, 

 , iar ecuaţiile parametrice ale traiectoriei sunt:

de unde, prin derivări, se obţin viteza şi acceleraţia:

 .

Lungimea arcului de hipocicloidă, la o rotaţie completă, este:

   .

Fig.1.15.b. Epicicloida şi hipocicloida pentru cazul R/r=2

Fig.1.15.c. Epicicloida şi hipocicloida pentru cazul R/r=3

Fig.1.15.d. Epicicloida şi hipocicloida pentru cazul R/r=4