Problema 1.14

Să se determine traiectoria, viteza şi acceleraţia unui punct de pe periferia unei roţi de rază R care se rostogoleşte fără alunecare pe planul orizontal (fig.1.14.a).

Fig.1.14.a. Cicloida

Rezolvare: Luăm ca parametru variabil unghiul

. Vectorul de poziţie al punctului M de pe periferia roţii, după ce aceasta s-a rostogolit cu unghiul

, este dat de relaţia:

cu componentele:

care reprezintă ecuaţiile parametrice ale cicloidei (parametrul fiind unghiul

Viteza va fi dată de relaţiile:

cu valoarea:

Valoarea maximă a vitezei se obţine pentru

deci .

Fig.1.14.b. Graficul valorii vitezei

Componentele acceleraţiei punctului sunt date de relaţiile:

iar valoarea de:

de unde:

Lungimea arcului de cicloidă este:

La o rostogolire completă a cercului spaţiul parcurs de punctul material este:

Unghiul făcut de viteză cu orizontala este:

deci:

(pentru

) cu excepţia cazului când . În acest caz: , deci v=0. În punctele unghiul făcut de viteză cu orizontala prezintă discontinuitate:

Fig.1.14.c

Graficul unghiului de înclinare a vitezei în funcţie de unghiul de rostogolire

este dat în fig. 1.14.c. În cazul în care considerăm că roata se rostogoleşte cu viteză constantă e

atunci şi au următoarele proprietăţi:

a) vectorul

este perpendicular pe AM şi egal în modul cu .

Într-adevăr

şi atunci (fig.1.14.d):

Fig.1.14.d. Interpretarea geometrică a mişcării pe o cicloidă

Rezultă că punctul M de pe periferia roţii se comportă d.p.d.v. al vitezei ca şi cum discul s-ar roti cu viteza unghiulară

în jurul punctului A (viteza unghiulară

defineşte variaţia în timp a unghiului ) (fig.1.14.d).

b) Vectorul

are direcţia razei MC şi este egal cu ;

;

deci:

Punctul M de pe periferia roţii se comportă, d.p.d.v. al acceleraţiei ca şi cum s-ar mişca pe periferia cercului de rază R, cu viteză constantă (fig.1.14.d). Dacă punctul material se găseşte în interiorul unui cerc care se rostogoleste se obţine cicloida scurtată (fig.1.14.e) şi dacă se găseşte pe exteriorul lui, facând corp comun cu cercul se obţine cicloida alungită (fig.1.14.f).

Fig.1.14.e

Page updated

Google Sites

Report abuse