O bara de lungime 2L se mişcă astfel încât capătul A glisează pe axa O1x1 cu viteza constantă v, iar B pe axa O1y1. Să se determine viteza unghiulară şi acceleraţia unghiulară a barei, viteza şi acceleraţia punctului B şi centroidele barei (baza şi rostogolitoarea) (Problema lui Cardan) (fig.2.13.a).
Rezolvare:
i) Soluţie analitică. Componentele vitezei pe axele sistemului de referinţă mobil sunt:
; iar .
Viteza punctului B este dată de relaţia:
,
deoarece:
.
Condiţia ca viteza punctului B să fie orientată după axa Oy dă:
.
Prin derivare se obţine acceleraţia unghiulară a barei:
.
Coordonatele C.I.R. în raport cu sistemul mobil de coordonate vor fi:
Eliminând parametrul q între cele două relaţii ţinând seama de expresia:
se obţine ecuaţia rostogolitoarei:
,
adică ecuaţia unui cerc cu centrul în centrul barei şi cu raza egală cu jumătate din lungimea barei. Coordonatele C.I.R. în raport cu sistemul de referinţă fix vor fi date de:
Se elimină q prin ridicare la pătrat şi adunare şi se obţine ecuaţia bazei sub forma:
adica un cerc de raza 2L şi cu centrul în originea O1. În timpul mişcării cercul mobil se rostogoleşte fără alunecare pe cercul fix (fig.2.13.b).
ii) Soluţie semianalitică. Ducând perpendicularele pe vectorii viteză în punctele A şi B se obţine punctul I. Coordonatele acestuia în sistemul fix de referinţă sunt:
;
.
Dacă se proiectează I pe axele sistemului mobil de coordonate se obţine:
;
,
adică rezultatele obţinute la punctul i).
Ţinând seama că
se obţine viteza unghiulară w.
iii) Soluţia geometrică. În cazul construcţiei de la punctul ii), figura O1AIB este un dreptunghi. Faţă de bara unghiul I este întotdeauna drept. Punctul I se va afla atunci pe cercul circumscris dreptunghiului de diametru AB = 2L. Distanţa O1I = AB = ct. ca diagonale ale dreptunghiului şi atunci faţă de sistemul de referinţă fix punctul I se mişca pe cercul de rază egală cu O1I = 2L şi cu centrul în O1.