Raíces de un polinomio
Teorema del resto
El resto de la división de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma (x - a) es el valor numérico de dicho polinomio para el valor: x = a.
P(x) = x4 − 3x2 +2
Q(x) = x − 3
P(x) : Q(x)
P(3) = 34 − 3 · 32 + 2 = 81 − 27 + 2 = 56
Teorema del factor
El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma (x - a) si y sólo si P(x = a) = 0.
Al valor x = a se le llama raíz o cero del poinomio P(x).
P(x) = x2 − 5x + 6
P(2) = 22 − 5 · 2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0
P(3) = 32 − 5 · 3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0
x = 2 y x = 3 son raíces o ceros del polinomio: P(x) = x2 − 5x + 6, porque P(2) = 0 y P(3) = 0.
Raíces de un polinomio
1Los ceros o raíces de un polinomio son divisores del término independiente del polinomio.
2A cada raíz del tipo x = a le corresponde un binomio del tipo (x — a).
3Podemos expresar un polinomio en factores al escribirlo como producto de todos los binomiosdel tipo (x — a), que se correspondan a las raíces, x = a, que se obtengan.
x2 − 5x + 6 = (x − 2) · (x − 3)
4La suma de los exponentes de los binomios ha de ser igual al grado del polinomio.
5Todo polinomio que no tenga término independiente admite como raíz x = 0, ó lo que es lo mismo, admite como factor x.
x2 + x = x · (x + 1)
Raíces: x = 0 y x = − 1
6Un polinomio se llama irreducible o primo cuando no puede descomponerse en factores.
P(x) = x2 + x + 1
Ejercicio
Hallar las raíces y descomponer en factores el polinomio:
Q(x) = x2 − x − 6
Los divisores del término independiente son ±1, ±2, ±3.
Q(1) = 12 − 1 − 6 ≠ 0
Q(−1) = (−1)2 − (−1) − 6 ≠ 0
Q(2) = 22 − 2 − 6 ≠ 0
Q(−2) = (−2)2 − (−2) − 6 = 4 +2 - 6 = 0
Q(3) = 32 − 3 − 6 = 9 − 3 − 6 =0
Las raíces son: x= −2 y x = 3.
Q(x) = (x + 2) · (x − 3)