Posiciones relativas
Posiciones relativas de dos rectas
Rectas definidas por un punto y un vector
Si la recta r viene determinada por y y la recta s por y , la posición relativa de r y s viene dada por la posición de .
Si hay dos posibilidades:
1. Rectas coincidentes si .
2. Rectas paralelas si .
Si hay otras dos posibilidades:
3. Rectas secantes si .
4. Rectas que se cruzan si .
Rectas definidas por sus ecuaciones implicitas
Si:
r = rango de la matriz de los coeficientes.
r'= rango de la matriz ampliada.
Las posicones relativas de dos rectas vienen dada por la siguiente tabla:
Posiciónrr'
Cruzadas 3 4
Secantes 3 3
Paralelos 2 3
Coincidentes 2 2
Posiciones relativas de una recta y un plano
1. La recta viene definida por un punto y un vector
Sea una recta definida por el punto A y el vector . y un plano cuyo rector normal es . Las posiciones relativas de la recta y el plano son:
PosiciónA
Recta contenida en el plano = 0 π
Recta y plano paralelos = 0 π
Recta y plano secantes ≠ 0
2. La recta viene definida por dos planos secantes
Sea la recta: y el plano .
Para estudiar la posición relativa de la recta y el plano discutimos el sistema:
Si:
r = rango de la matriz de los coeficientes.
r'= rango de la matriz ampliada.
Las posicones relativas de la recta y el plano vienen dada por la siguiente tabla:
Posiciónrr'
Recta contenida en el plano 2 2
Recta y plano paralelos 2 3
Recta y plano secantes 3 3
Posiciones relativas de dos planos
Dados los planos:
Y sean:
r = rango de la matriz de los coeficientes.
r'= rango de la matriz ampliada.
Las posicones relativas de dos planos vienen dada por la siguiente tabla:
Posiciónrr'
Secantes 2 2
Paralelos 1 2
Coincidentes 1 1
Posiciones relativas de tres planos
Para estudiar la posición relativa de tres planos discutimos el sistema:
Y sean:
r = rango de la matriz de los coeficientes.
r'= rango de la matriz ampliada.
Las posicones relativas de los tres planos vienen dada por la siguiente tabla:
rr' Posición
3 3 1. Planos secantes en un punto
2 3
2.1 Planos secantes dos a dos.
2.2 Dos planos paralelos y el tercero secante.
2 2
3.1 Planos secantes y distintos.
3.2 Dos planos coincidentes y uno secante.
1 2
4.1 Planos paralelos y distintos dos a dos.
4.2 Planos paralelos y dos coincidentes.
1 1 5. Planos coincidentes.