Problemas de ecuaciones
Para realizar un problemas de ecuaciones en primer lugar lo tenemos que expresar en lenguaje algebráico y posteriormente resolver la ecuación resultante.
Expresiones algebraicas comunes
El doble o duplo de un número: 2x
El triple de un número: 3x
El cuádruplo de un número: 4x
La mitad de un número: x/2.
Un tercio de un número: x/3.
Un cuarto de un número: x/4.
Un número es proporcional a 2, 3, 4, ...: 2x, 3x, 4x,..
Un número al cuadrado: x2
Un número al cubo: x3
Dos números consecutivos: x y x + 1.
Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2.
Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3.
Descomponer 24 en dos partes: x y 24 − x.
La suma de dos números es 24: x y 24 − x.
La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x.
El producto de dos números es 24: x y 24/x.
El cociente de dos números es 24; x y 24 · x.
Problemas de móviles
Para plantear problemas sobre móviles que llevan velocidad constante se utilizan las fórmulas del movimiento rectilíneo uniforme:
espacio = velocidad × tiempo
1er caso
Los móviles van en sentido contrario.
e AB + e BC = e AB
Dos ciudades A y B distan 300 km entre sí. A las 9 de la mañana parte de la ciudad A un coche hacia la ciudad B con una velocidad de 90 km/h, y de la ciudad B parte otro hacia la ciudad A con una velocidad de 60 km/h. Se pide:
1 El tiempo que tardarán en encontrarse.
90t + 60t = 300 150t = 300 t = 2 horas
2 La hora del encuentro.
Se encontraran a las 11 de la mañana .
3 La distancia recorrida por cada uno.
e AB = 90 · 2 = 180 km
e BC = 60 · 2 = 120 km
2o caso
Los móviles van en el mismo sentido.
e AC − e BC = e AB
Dos ciudades A y B distan 180 km entre sí. A las 9 de la mañana sale de un coche de cada ciudad y los dos coches van en el mismo sentido. El que sale de A circula a 90 km/h, y el que sale de B va a 60 km/h. Se pide:
1 El tiempo que tardarán en encontrarse.
90t − 60t = 180 30t = 180 t = 6 horas
2 La hora del encuentro.
Se encontraran a las 3 de la tarde .
3 La distancia recorrida por cada uno.
e AB = 90 · 6 = 540 km
e BC = 60 · 6 = 360 km
3er caso
Los móviles parten del mismo punto y con el mismo sentido.
e 1 = e 2
Un coche sale de la ciudad A a la velocidad de 90 km/h. Tres horas más tarde sale de la misma ciudad otro coche en persecución del primero con una velocidad de 120 km/h. Se pide:
1 El tiempo que tardará en alcanzarlo.
90t = 120 · (t − 3)
90t = 120t − 360 −30t = −360 t = 12 horas
2 La distancia a la que se produce el encuentro.
e 1 = 90 · 12 = 1080 km
Problemas de grifos
En una hora el primer grifo llena 1/t1 del depósito.
En una hora el segundo grifo llena 1/t2 del depósito.
Si existe un desagüe
En una hora el desagüe vacia 1/t3 del depósito.
En una hora los dos grifos juntos habrán llenado:
Sin desagüe
Con desagüe
Un grifo tarda en llenar un depósito tres horas y otro grifo tarda en llenarlo cuatro horas. ¿Cuánto tiempo tardarán en llenar los dos grifos juntos el depósito?
En una hora el primer grifo llena 1/3 del depósito.
En una hora el segundo grifo llena 1/4 del depósito.
En una hora los dos grifos juntos habrán llenado:
7x = 12 x = 12/7 horas
Problemas de mezclas
C1 1ª cantidad. C1 = x
C2 2ª cantidad. C2 = Cm - x
Cm Cantidad de la mezclaCm = C1 + C2
P1 Precio de la 1ª cantidad
P2 Precio de la 2ª cantidad
Pm Precio de la mezcla
C1 · P1 + C2 · P2 = Cm · Pm
También podemos poner los datos en una tabla
CantidadPrecioCoste
1ª sustancia C1 P1 C1 · P1
2ª sustancia C2 P2 C2 · P2
Mezcla C1 + C2 P C1 · P1+ C2 · P2
C1 · P1 + C2 · P2 = (C1 + C2) · Pm
Un comerciante tiene dos clases de café, la primera a 40 € el kg y la segunda a 60 € el kg.
¿Cuantos kilogramos hay que poner de cada clase de café para obtener 60 kilos de mezcla a 50 € el kg?
1ª clase2ª claseTotal
Nº de kg x 60 − x 60
Valor 40 · x 60 · (60 − x) 60 · 50
40x + 60 · (60 − x) = 60 · 50
40x + 3600 − 60x = 3000; − 60x + 40x = 3000 − 3600; 20x = 600
x = 30; 60 − 30 = 30
Tenemos que mezclar 30 kg de la 1ª clase y otros 30 de la 2ª clase.
Problemas de aleaciones
La ley de la aleación es la relación entre el peso del metal fino, es decir, más valioso, y el peso total.
Se resuelven del mismo modo que los problemas de mezclas, teniendo en cuenta que la ley de la aleación equivale al precio de la mezcla.
C1 · L1 + C2 · L2 = (C1 + C2) · La
Se tienen dos lingotes de plata, uno de ley 0.750 y otro de ley 0.950. ¿Qué peso hay que tomar de cada lingote para obtener 1800 g de plata de ley 0.900?
1ª ley2ª leyTotal
Nº de g x 1800 − x 1800
Plata 0.750 · x 0.950 · (1800−x) 0.900 · 1800
0.750 · x + 0.950 · (1 800−x) = 0.9 · 1800
0.750 x + 1 710 − 0.950x = 1 620
0.750x − 0.950x = 1 620 − 1 710
−0.2x = − 90 x = 450
1ª ley 450 g
2ª ley 1350 g