Factorizar polinomios
Para factorizar un polinomio y calcular sus raíces vamos a seguir los siguientes pasos, cuando sean posibles:
1ºFactor común de un polinomio
Extraer factor común a un polinomio consiste en aplicar la propiedad distributiva.
a · x + b · x + c · x =
= x (a + b + c)
Una raíz del polinomio será siempre x = 0
Descomponer en factores sacando factor común y hallar las raíces de:
1 x3 + x2 = x2 (x + 1)
La raíces son: x = 0 y x = − 1
2 2x4 + 4x2 = 2x2 (x2 + 2)
Sólo tiene una raíz X = 0; ya que el polinomio, x2 + 2, no tiene ningún valor que lo anule; debido a que al estar la x al cuadrado siempre dará un número positivo, por tanto es irreducible.
3 x2 − ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a) = (x − a) · (x − b)
La raíces son x= a y x = b.
2º Igualdad notable
1Diferencia de cuadrados
Una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia.
a2 − b2 = (a + b) · (a − b)
Descomponer en factores y hallar las raíces
1 x2 − 4 = (X + 2) · (X − 2)
Las raíces son X = − 2 y X = 2
2 x4 − 16 = (x2 + 4) · (x2 − 4) = (X + 2) · (X − 2) · (x2 + 4)
Las raíces son X = − 2 y X = 2
2Trinomio cuadrado perfecto
Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado.
a2 ± 2 a b + b2 = (a ± b)2
Descomponer en factores los trinomio cuadrados perfectos y hallar sus raíces
La raíz es x = − 3.
La raíz es x = 2.
3º Trinomio de segundo grado
Para descomponer en factores el trinomio de segundo grado P(x) = a x2 + bx +c , se iguala a cero y se resuelve la ecuación de 2º grado. Si las soluciones a la ecuación son x1 y x2, el polinomio descompuesto será:
a x2 + bx +c = a · (x -x1 ) · (x -x2 )
Descomponer en factores los trinomios de segundo grado y hallar sus raíces
Las raíces son x = 3 y x = 2.
Las raíces son x = 3 y x = − 2.
Descomponer en factores los trinomios de cuarto grado de exponentes pares y hallar sus raíces
x4 − 10x2 + 9
x2 = t
x4 − 10x2 + 9 = 0
t2 − 10t + 9 = 0
x4 − 10x2 + 9 = (x + 1) · (x − 1) · (x + 3) · (x − 3)
x4 − 2x2 − 3
x2 = t
t2 − 2t − 3 = 0
x4 − 2x2 + 3 = (x2 + 1) · (x + ) · (x − )
4º Factorización de un polinomio de grado superior a dos
Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini.
Descomposición de un polinomio de grado superior a dos y cálculo de sus raíces
P(x) = 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6
1Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±2, ±3.
2Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.
P(1) = 2 · 14 + 13 − 8 · 12 − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0
3Dividimos por Ruffini.
4Por ser la división exacta, D = d · c
(x −1) · (2x3 + 3x2 − 5x − 6 )
Una raíz es x = 1.
Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.
Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado.
P(1) = 2 · 13 + 3 · 12 − 5 · 1 − 6≠ 0
P(−1) = 2 · (− 1)3 + 3 ·(− 1)2 − 5 · (− 1) − 6= −2 + 3 + 5 − 6 = 0
(x −1) · (x +1) · (2x2 +x −6)
Otra raíz es x = -1.
El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la ecuación de 2º grado o tal como venimos haciéndolo, aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos encontrar raíces enteras.
El 1 lo descartamos y seguimos probando por − 1.
P(−1) = 2 · (−1)2 + (−1) − 6 ≠ 0
P(2) = 2 · 22 + 2 − 6 ≠ 0
P(−2) = 2 · (−2)2 + (−2) − 6 = 2 · 4 − 2 − 6 = 0
(x −1) · (x +1) · (x +2) · (2x −3 )
Sacamos factor común 2 en último binomio.
2x −3 = 2 (x − 3/2)
La factorización del polinomio queda:
P(x) = 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6 = 2 (x −1) · (x +1) · (x +2) · (x − 3/2)
Las raíces son : x = 1, x = − 1, x = −2 y x = 3/2
Ejercicios resueltos de factorización de polinomios
Factorizar los polinomios
19x4 − 4x2 =
x2 · (9x2 − 4) =
x2 · (3x + 2) · (3x − 2)
2x5 + 20x3 + 100x =
x · (x4 + 20x2 + 100) =
x · (x2 + 10)2
33x5 − 18x3 + 27x =
3x · (x4 −6 x2 + 9) =
= 3x · (x2 − 3)2
42x3 − 50x =
=2x · (x2 − 25 ) =
2x · (x + 5) · (x - 5)
52x5 − 32x =
= 2x · (x4 − 16 ) =
2x · (x2 + 4) · (x2 − 4) =
= 2x · (x2 + 4) ·(x +2) · (x − 2)
62x2 + x − 28
2x2 + x − 28 = 0
2x2 + x − 28 = 2 (x + 4) · (x − 7/2)
Descomponer en factores los polinomios
1
2xy − 2x − 3y +6 =
= x · (y − 2) − 3 · (y − 2) =
= (x − 3) · (y − 2)
325x2 − 1=
= (5x +1) ·(5x − 1)
436x6 − 49 =
= (6x3 + 7) · (6x3 − 7)
5x2 − 2x +1 =
= (x − 1)2
6x2 − 6x +9 =
= (x − 3)2
7x2 − 20x +100 =
= (x − 10)2
8x2 + 10x +25 =
= (x + 5)2
9x2 + 14x +49 =
= (x + 7)2
10x3 − 4x2 + 4x =
= x · (x2 − 4x +4) =
= x · (x − 2)2
113x7 − 27x =
= 3x · (x6 − 9 ) =
= 3x · (x3 + 3) · (x3 − 3)
12x2 − 11x + 30
x2 − 11x + 30 = 0
x2 − 11x + 30 = (x −6) · (x −5)
133x2 + 10x +3
3x2 + 10x +3 = 0
3x2 + 10x +3 = 3 (x − 3) · (x − 1/3)
142x2 − x −1
2x2 − x −1 = 0
2x2 − x −1 = 2 (x − 1) · (x + 1/2)
Factorizar y hallar las raíces de los polinomios
1 2x3 − 7x2 + 8x − 3
P(1) = 2 · 13 − 7 · 12 + 8 · 1 − 3 = 0
(x −1 ) · (2x2 − 5x + 3 )
P(1) = 2 · 1 2 −5 · 1 + 3 = 0
(x −1 )2 · (2x −3 ) = 2 (x − 3/2 ) · (x −1 )2
Las raíces son: x = 3/2 y x = 1
2x3 − x2 − 4
{±1, ±2, ±4 }
P(1) = 1 3 − 1 2 − 4 ≠ 0
P(−1) = (−1) 3 − (−1) 2 − 4 ≠ 0
P(2) = 2 3 − 2 2 − 4 = 8 − 4 − 4 = 0
(x − 2) · (x2+ x + 2 )
x2+ x + 2 = 0
(x − 2) · (x2+ x + 2 )
Raíz: x = 2.
3x3 + 3x2 −4 x − 12
{±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 }
P(1) = 13 + 3 · 12 − 4 · 1 − 12 ≠ 0
P(−1) = (−1)3 + 3 · (−1)2 − 4 · (−1) − 12 ≠ 0
P(2) = 23 + 3 · 22 − 4 · 2 − 12 = 8 + 12 − 8 − 12 = 0
(x − 2) · (x2 + 5x +6)
x2 + 5x +6 = 0
(x − 2) ·(x + 2) ·(x +3)
Las raíces son : x = 2, x = − 2, x = − 3.
46x3 + 7x2 − 9x + 2
{±1, ±2}
P(1) = 6 · 13 + 7 · 12 − 9 · 1 + 2 ≠ 0
P(−1) = 6 · (−1)3 + 7 · (−1)2 − 9 · (−1) + 2 ≠ 0
P(2) = 6 · 2 3 + 7 · 2 2 − 9 · 2 + 2 ≠ 0
P(−2) = 6 · (−2)3 + 7 · (−2)2 − 9 · (−2) + 2 = − 48 + 28 + 18 + 2 = 0
(x+2) · (6x2 −5x +1)
6x2 −5x +1 = 0
6 · (x + 2) · (x − 1/2) · (x − 1/3)
Raíces: x = − 2, x = 1/2 y x= 1/3