Inecuaciones cuadráticas
La inecuación cuadrática o de segundo grado:
x2 − 6x + 8 > 0
La resolveremos aplicando los siguientes pasos:
1ºIgualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.
x2 − 6x + 8 = 0
2º Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:
P(0) = 02 − 6 · 0 + 8 > 0
P(3) = 32 − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0
P(5) = 52 − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0
3º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que el polinomio.
S = (-∞, 2) (4, ∞)
x2 + 2x +1 ≥ 0
x2 + 2x +1 = 0
(x + 1)2 ≥ 0
Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución es
Solución
x2 + 2x +1 ≥ 0 (x + 1)2 ≥ 0
x2 + 2x +1 > 0 (x + 1)2 > 0
x2 + 2x +1 ≤ 0 (x + 1)2 ≤ 0 x = − 1
x2 + 2x +1 < 0 (x + 1)2 < 0
x2 + x +1 > 0
x2 + x +1 = 0
Cuando no tiene raíces reales, le damos al polinomio cualquier valor si:
El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es .
El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solución.
Solución
x2 + x +1 ≥ 0
x2 + x +1 > 0
x2 + x +1 ≤ 0
x2 + x +1 < 0
Ejercicios de inecuaciones cuadraticas
1 7x2 + 21x − 28 < 0
x2 +3x − 4 < 0
x2 +3x − 4 = 0
P(−6) = (−6)2 +3 · (−6)− 4 > 0
P(0) = 02 +3 · 0 − 4 < 0
P(3) = 32 +3 · 3 − 4 > 0
(−4, 1)
2 −x2 + 4x − 7 < 0
x2 − 4x + 7 = 0
P(0) = −02 + 4 ·0 − 7 < 0
S =
3
P(−3) = 4 · (−3)2 − 16 > 0
P(0) = 4 · 0 2 − 16 < 0
P(3) = 4 · 3 2 − 16 > 0
(-∞ , −2 ] [2, +∞)
44x2 − 4x + 1 ≤ 0
4x2 − 4x + 1 = 0
5
Como el primer factor es siempre positivo, sólo tendremos que estudiar el signo del 2º factor.
P(−17) = (−17) 2 + 12 · 17 − 64 > 0
P(0) = 02 + 12 · 0 − 64 < 0
P(5) = 5 2 + 12 · 5 − 64 > 0
(-∞, −16] [4, ∞)
6x4 − 25x2 + 144 < 0
x4 − 25x2 + 144 = 0
(−4, −3) (−3, 3 ) (3, 4) .
7x4 − 16x2 − 225 ≥ 0
x4 − 16x2 − 225 = 0
(x2 - 25) · (x2 + 9) ≥ 0
El segundo factor siempre es positivo y distinto de cero, sólo tenemos que estudiar el signo del 1er factor.
(x2 − 25) ≥ 0
(-∞, −5] [5, +∞)