Límites de funciones
Límite de una función en un punto
Límite finito
Límite infinito
Límite menos infinito
Límites laterales
Límites en el infinito
Límite cuando x tiende a infinito
Límite cuando x tiende a menos infinito
Operaciones con límites
g puede ser una raíz, un log, sen ,cos, tg, etc.
Operaciones con infinito y cero
No distinguimos entre +∞ y -∞ para no alargar excesivamente la lista. Nos basta con saber:
La regla de los signos y que a-n = 1/a n
Comparación de infinitos
1. f(x) es un infinito de orden superior a g(x) si:
2. f(x) es un infinito de orden inferior a g(x) si:
2. f(x) es un infinito de igual orden a g(x) si:
Dadas dos potencias de x, la de mayor exponente es un infinito de orden superior.
Dadas dos funciones exponenciales de base mayor que 1, la de mayor base es un infinito de orden superior.
Cualquier función exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a cualquier potencia de x.
Las potencias de x son infinitos de orden superior a las funciones logarítmicas.
Dos polinomios del mismo grado o dos exponenciales de la misma base son infinitos del mismo orden.
Cálculo de límites
Límite en un punto
Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:
Límite en una función definida a trozos
En primer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los puntos de unión de los diferentes trozos.
Si coinciden, este es el valor del límite.
Si no coinciden, el límite no existe
Límite cuando x tiende a infinito
Para calcular el límite de una función cuando x ∞ se sustituyen las x por ∞.
Funciones polinómicas en el infinito
El límite cuando x ∞ de una función polinómica es +∞ o -∞ según que el término de mayor grado sea positivo o negativo.
Inversa de un polinomio en el infinito
.
Límite cuando x tiende a menos infinito
Límite de la función exponencial
Si a > 1
Si 0 < a < 1
Límite de la función logarítmica
Si a > 0
Si 0 < a < 1
Indeterminaciones
Infinito partido infinito
1. Si se trata de funciones potenciales dividimos todos los sumandos por la x elevada al mayor exponente o aplicamos la siguiente regla práctica:
1 Si el numerador y denominador tienen el mismo grado el límite es el cociente entre los coeficientes de las potencias de mayor grado.
2 Si el numerador tiene mayor grado que el denominador el limite es ±∞, dependiendo del signo del coeficiente de mayor grado.
3 Si el denominador tiene mayor grado el límite es 0.
2. Si son funciones exponenciales dividimos por la exponencial de mayor base.
3. Por comparación de infinitos.
Infininito menos infinito
1. Por comparación de infinitos.
2. Con funciones racionales ponemos a común denominador, y obtenemos . Resolvemos esta indeterminación.
Cero partido cero
1. Función racional sin radicales:
Se descomponen en factores los polinomios y se simplifica la fracción.
2. Función racional con radicales:
En primer lugar multiplicamos numerador y denominador por el conjugado de la expresión irracional.
Realizamos las operaciones y simplificamos la fracción.
Cero por infinito
Se transforma a ó a
Uno elevado a infinito
Se resuelve transformando la expresión en una potencia del número e.