004(1-4等加速度運動~斜面與落體運動)

 1.斜面運動：指物體在光滑斜面上，受重力作用等加速度下滑的運動。

斜面愈傾斜，下滑的加速度愈大。

[歷史上，最先發現等加速度運動的人是義大利科學家伽利略。]

 2.自由落體：指在地表附近，將物體由靜止自由釋放下落，只受重力作用的一種等加速度運動。

其加速度約為9.8m/s2，稱為重力加速度，方向向下。

 3.等加速度運動的公式推導：如下圖所示為物體作等加速度運動的v-t圖，

開始計時t0 ，其初速為v0 ，停止計時t1，其末速為v，經過時間為t(= t1-t0)。

(1)此運動過程的平均加速度 a = (v-v0)/(t1-t0) = (v-v0)/ t ，

    v-v0 = at   ， v = v0 + at   [ 末速 = 初速 + 加速度 × 時間 ] ... (1)

 (2)此運動過程的位移S ( ∆x ) = v-t 圖關係線與時間軸所涵蓋面積= ( v0 + v ) × t / 2 

      [ 位移 = (初速 + 末速 ) × 時間 / 2 ] ...(2)

 (3) 將(1)式所得 v = v0 + at 代入 (2)式 S = ( v0 + v ) × t / 2  ，

     S = ( v0 + v0 + at ) × t / 2  = ( 2v0 + at ) × t / 2 = v0t + (½) at2  

    [ 位移 = 初速  × 時間 + (1/2)  × 加速度 × 時間的平方 ] ...(3)

 (4) 將(1)式所得 v = v0 + at ，先轉變成 t = ( v - v0 ) / a 再代入      (2)式 S = ( v0 + v ) × t / 2  ，

       S = ( v + v0 ) × [( v - v0 ) / a] / 2， 

         S = ( v2 - v02) / 2a ，2aS =  v2 - v02 ， v2 = v02 + 2aS

      [ 末速的平方 = 初速的平方 + 2 × 加速度 × 位移 ] ...(4)

 4.等加速度運動公式整理：[ v0 : 初速 ， v : 末速 ， a : 加速度 ，t: 所經歷的時間 ，S : 位移 ]

 (1) v = v0 + at

 (2) S = ( v0 + v ) × t / 2

 (3) S =  v0t + (½) at2  

 (4) v2 = v02 + 2aS 

 5.自由落體運動公式整理：[ v0 : 初速 = 0 ， v : 末速 ， a : 加速度 = g ，t: 所經歷的時間 ，S : 位移 ]

 (1) v = gt

 (2) S =  (v × t ) / 2

 (3) S =   (½) gt2

 (4) v2 =  2gS

 6.自由落體運動之例題：

 (1)有一物體自某高樓樓頂由靜止自由落下，發現落地時，   費時5秒，則此大樓高約多少公尺？

      [解1.] (公式解)

            S = ( ½ ) gt2 = ( ½ ) × 9.8 × 52 = 4.9 × 25 = 122.5 m

               Ans : 122.5 m

     [解2.](定義+圖形解)

           因定義 a = ( v- v0) / t , 9.8 = (v - 0) / 5 ,故 v = 9.8×5 = 49(m/s)

          位移S = v-t 圖關係線與時間軸所涵蓋面積= 5 × 49 × (½) =122.5m                                             Ans : 122.5 m

 (2)有一高樓樓高245公尺，若由樓頂將一物體自由釋放，則落地時，至少需費時多少秒？[ 設 g = 10m/s2 ]

   [解1.](公式解)

      因 S = ( ½ ) gt2  ， 245 =  ( ½ ) × 10 × t2 ， t2 = 49 ， t = 7 (負不合)                                               Ans: 7 秒

        [解2.](定義+圖形解)

                       因定義 a = ( v- v0) / t , 10 = (v - 0) / t ,故 v = 10t(m/s)  

        又因位移S = v-t 圖關係線與時間軸所涵蓋面積，

                245 =  t  ×  ( 10t ) / 2 = 5 t2   ，  t2 = 49 ， t = 7 (負不合)

                                                                               Ans: 7 秒

 (3)有一高樓樓高245公尺，若由樓頂將一物體自由釋放，則落地前瞬間的速度為多少？

 [ 設 g = 10m/s2 ]

         [解1](公式解)

       因v2 =  2gS，v2 =  2 × 10 × 245 ，v2 = 4900 ，

                v = 70 m/s (負不合)   

                                                                     Ans: 70 m/s

     [解2.](定義+圖形解)

因定義 a = ( v- v0) / t , 10 = (v - 0) / t ,故 v = 10t(m/s)  

         又因位移S = v-t 圖關係線與時間軸所涵蓋面積，

                245 =  t  ×  ( 10t ) / 2 = 5 t2   ，  t2 = 49 ， t = 7 (負不合)

            設末速為v，則 (v - 0)/ 7 = 10 ， 故 v = 10  × 7 = 70  m/s

                                                                                Ans: 70 m/s 

*課文重點複習 :