Cominciamo con un po' di matematica
Data pubblicazione: 8-set-2013 13.04.26
Sembrerà strano che cominci questo post topografico con un richiamo di matematica. Ma, volenti o nolenti, essa è alla base del nostro lavoro.
Ai “miei tempi” tutto era formule, talvolta semplici, il più delle volte complicatissime e dai nomi ermetici: prostaferesi, duplicazione, logaritmizzazione, Briggs e via elencando. Alla base di tutto c’erano i logaritmi. Ricordo anche che in ufficio i calcoli li facevamo in due, per opportuno controllo. Poi c’erano i fortunati che potevano contare su una macchina calcolatrice, ma, ohimè, quella era in grado di fare solo le quattro operazioni base. Già la radice quadrata era un’avventura!
Viceversa va detto che oggi è tutto computerizzato, e c’è già qualcuno che ha pensato per conto nostro: a noi non resta che riempire le caselline e godere della soluzione.
Allora perché avventurarsi nella matematica?
Per risolvere elegantemente alcuni problemi semplici, per capire come ragionano i programmi più complessi, per rendersi conto dei risultati ottenuti (criticamente), per poter fronteggiare qualche semplice problema con l’uso del computer (il programma excel o simili in particolare) laddove esso, orrore!, opera in radianti e non nei famigliari gradi centesimali.
La domanda successiva è “di quanta matematica ha bisogno il topografo”. Ebbene, mi sento di tranquillizzarlo: di poca. Anche se condita con un pizzico di geometria. Vediamo di mettere “in fila” alcuni concetti. Naturalmente è dato per scontato che abbiate le principali conoscenze di base, che sappiate che esistono i numeri positivi e negativi, che sappiate che l’unità di misura di lunghezza (in Italia) è il metro, che sappiate fare le quattro operazioni e anche la radice quadrata (aiutati da una calcolatrice o dal computer), che sappiate cosa è il pi (pi greco).
La proporzione
Cominciamo dalla cosa più semplice.
Una massaia va a comperare 2 etti prosciutto, che costa 10.5 €/kg. Quando spenderà?
L’esempio è volutamente banale, ed anche chi sa pochissimo di aritmetica (limitiamoci al saper “far di conto”) vi risponderà:
10.5 € * 0.2 kg = 2.10 €
Le massaie più preparate faranno anche il conto a mente (se non altro per evitare indebiti arrotondamenti da parte del bottegaio) per cui:
10.5 * 2 = 21, saranno 2.10 €
Sembrerà scontato, ma la nostra massaia ha appena applicato, sviluppato e risolto una proporzione!
1 kg di prodotto : quantità acquistata = 10.5 € : x €
da cui:
x € = (quantità acquistata * 10.5) / 1 kg di prodotto
x € = quantità acquistata * 10.5 = 0.2 * 10.5 = 2.1 €
Per la risoluzione della proporzione basta ricordarsi che il prodotto degli estremi è uguale al prodotto dei medi, in pratica si individua se sono presenti i due estremi o i due medi, si moltiplica gli elementi che sono presenti e li si divide per quelli che non sono entrambi presenti.
Prima che qualcuno pensi che sto impazzendo (e lo dimostrerebbe il fatto che sto mescolando angoli e prosciutto) vi porto alcuni semplici esempi che dimostrano quanto sto dicendo:
Trasformazione da gon a deg
Notoriamente i gon (angoli centesimali) prevedono un angolo giro diviso in 400 parti, mentre i deg (angoli sessa decimali o sessagesimali) prevedono un angolo giro diviso in 360° parti.
Dovendo effettuare una conversione si potrà dunque scrivere una proporzione del tipo:
agon (noto) : adeg (ricercato) = 400gon : 360deg
e così:
adeg (ricercato) = agon (noto) * 360deg / 400gon
adeg (ricercato) = agon (noto) * 0.9
Dove 0.9 = 360/400
In pratica il calcolo di trasformazione si può riassumere con la seguente affermazione: per trasformare angoli centesimali in angoli sessagesimali o viceversa ricordarsi che esiste un coefficiente fisso che è 0.9. Siccome di angoli centesimali ve ne sono 400 e di angoli sessagesimali 360 (un numero più grande contro un numero più piccolo) sarà sufficiente usare questo coefficiente in una moltiplicazione o in una divisione per passare da un sistema all’altro.
E tutto grazie all’uso della proporzione!
La trasformazione in radianti
E’ molto importante parlare subito di trasformazione in radianti, in quanto i computer funzionano con quel sistema angolare.
Facendo riferimento al paragrafetto precedente sarà facile ricordare come il sistema in radianti sia fondamentalmente un rapporto fra arco e raggio. Ma sappiamo che il cerchio completo vale
2 * pi * r
Ovvero circa 6.28. Possiamo infatti dimenticare r in quanto unitario.
Mantenendo questa considerazione e ricopiando la proporzione precedente potremo scrivere:
400gon : 2 * pi = angologon : angoloradianti
Per lo più conosciamo l’angologon e dobbiamo trasformarlo in radianti per cui risolvendo otteniamo:
angoloradianti = angologon * 2 * pi / 400
e, semplificando:
angoloradianti = angologon * pi / 200
Che si riassume così: dovendo convertire un sistema angolare in radianti basta ricordarsi che il numero convertito sarà ben più piccolo di quello da convertire. La conversione si fa moltiplicando il numero da convertire per pi e quindi dividendo per un angolo piatto espresso nella notazione di cui si sta parlando (ad esempio 200 per i gon). Viceversa dovendo convertire i radianti in un altro sistema angolare è da aspettarsi un numero più grande e quindi bisognerà moltiplicare il numero da convertire per un angolo piatto, espresso nel sistema con cui si sta lavorando, e il risultato di questa moltiplicazione va diviso per pi.
NOTA: normalmente il valore di pi è compreso fra le funzioni del programma. In alternativa si potrà usare, con una certa approssimazione il numero 3.1415 (facile da ricordare: 3.14 lo sappiamo sin dalle elementari, basta “attaccarci” il numero “15”, ovvero 14+1. Sempre in alternativa si può usare, per ottenere pi con buona approssimazione, il rapporto 355/113. E’ facile da ricordare, perché basta prendere i primi numeri dispari, raddoppiarli, dividere in due parti le sei cifre ed infine fare l’unica divisione che porti ad un risultato simile a quello cercato:
113355
113|355
355/113 = 3.14159292
Determinazione dei (minuti) primi in 1 grado o in 1 ora
In maniera del tutto analoga possiamo passare a calcolare il valore decimale di una frazione di grado (o di ora, entrambi sono divisi in 60 parti dette “minuti” o “primi”).
E’ appena il caso di ricordarvi che se siete pagati 10 €/ora e lavorate 1 ora e ½ il vostro compenso sarà di 15 €.
Se però il vostro datore di lavoro scrivesse
“ha lavorato 1,30 ore, @ 10 €/ora fanno:”
1,30 * 10 = 13.00 €
è chiaro che il galantuomo vi sta buggerando!
E quindi ecco la proporzione da usare per questa trasformazione:
1 (grado oppure ora) : 60 (minuti oppure primi) = x (decimi) : n (minuti oppure primi)
E così i 30 minuti dell’esempio di prima diventano:
1 : 60 = x : 30
da cui:
x = 1 * 30 / 60 = 0.5
(Che sommati all’ora intera fanno 1.5, e il vostro compenso è salvo).
Gli esempi sono moltissimi, e spaziano anche nell’ambito trigonometrico (parleremo del cerchio trigonometrico e di seno e coseno e risoluzione di triangoli rettangoli), nonché in moltissimi altri casi.
Angoli fra due rette parallele intersecate da una retta sghemba
Questo è uno dei primi rudimenti che si apprendono in geometria elementare. Non dimenticate quelle definizioni perché nei nostri sistemi di assi cartesiani possiamo sempre condurre due parallele per i punti che ci interessano (tipicamente il punto di stazione e il punto battuto), e collegarli con una retta sghemba che li interseca (tipicamente la linea di visuale dallo strumento).
Angoli alterni interni, esterni, corrispondenti eccetera ci verranno senz’altro in aiuto ai nostri ragionamenti.
Il tutto è così semplice e scontato che non allego nemmeno un disegno di questi valori.
Concedetemi una piccola osservazione: queste considerazioni possono valere anche nel piano verticale, laddove si considerino angoli azimutali e laddove le rette parallele siano individuate da due fili a piombo, uno sull’osservatore ed uno sul punto battuto. Ma attenzione: la superficie terrestre è curva e i due fili a piombo possono essere considerati paralleli solo per distanze sorprendentemente brevi!
Il cerchio trigonometrico
Il cerchio trigonometrico è un cerchio di raggio unitario con un sistema di assi cartesiani inserito nel suo centro. Attorno al centro (o, se preferite, attorno all’origine degli assi) ruota un raggio di valore unitario. Esso, quindi, tocca la circonferenza.
Per un determinato angolo a (che noi topografi per lo più consideriamo destrorso, a partire dall’asse verticale, che poi è quella delle ordinate e che per lo più noi chiamiamo “y”) questo punto di contatto assume vari valori. Tipicamente la x è chiamata seno e la y è chiamata coseno. Ci sono anche altre tangenze caratteristiche, soprattutto la tangente.
Il disegno qui sotto mostra la situazione. Si raccomanda di imprimerlo molto bene nella propria mente perché è alla base di una serie di ragionamenti futuri.
Purtroppo non vi è una regola mnemonica da invocare.
A questo punto individuiamo due triangoli rettangoli simili: OQP e OAT. Il primo ha l’ipotenusa unitaria (OP), mentre il secondo ha un cateto unitario (OA). Da queste considerazioni e dal fatto che si tratta di triangoli rettangoli derivano parecchi calcoli, che però per noi hanno poco interesse: le funzioni sono tabulate all’interno dei programmi del nostro computer.
Soffermiamoci invece su una ulteriore considerazione. I triangoli rettangoli che hanno in comune l’angolo a sono simili per definizione (essendo uguali tutti gli angoli, perché il secondo angolo è retto e questo blocca il valore del terzo). Conseguentemente possiamo inserire i nostri triangoli rettangoli “qualsiasi” (purché simili) nel modo indicato dalla figura sottostante:
Qui si vedono due triangoli (OQ1P1 e OQ2P2).
Ad esempio consideriamo QP (che poi è il seno di a) e l’ipotenusa OP (che vale 1 per definizione). In base alla legge di proporzionalità potremo confrontare il triangolo OQP con (ad esempio) OQ2P2. Consideriamo anche che QP (e Q2P2) sono cateti opposti all’angolo a.
Possiamo dire (utilizzo una serie di definizioni evidenti):
seno a : 1 = cateto opposto ad a : ipotenusa
Al che, sviluppando:
cateto opposto ad a = ipotenusa * seno a / 1
Ovvero, logicamente:
cateto opposto ad a = ipotenusa * seno a
In perfetta analogia possiamo rigirare la frittata come meglio ci aggrada.
Ne conseguono le seguenti definizioni (che è facile tenere a mente):
In un triangolo rettangolo:
Il seno di un angolo è dato dal rapporto fra il cateto opposto e l’ipotenusa
Il coseno di un angolo è dato dal rapporto fra il cateto adiacente e l’ipotenusa
La tangente di un angolo è data dal rapporto fra il cateto opposto e quello adiacente
“Girando” le formule (faccio un solo esempio):
Il cateto opposto ad un angolo è dato dal prodotto dell’ipotenusa per il seno di quell’angolo
……..
Un piccolo appunto: seno, coseno & simili sono numeri, non angoli. Una volta determinati bisogna entrare nelle tabelle (o utilizzare la calcolatrice) per individuare l’angolo che corrisponde a “quel” numero. Nelle calcolatrici e nel mondo dei computer esiste una funzione apposita, che va sotto il nome di arcosen, arcocosen, arcotan, eccetera, ma spesso anche scritta sin-1, cos-1, tan-1.
E’ evidente l’assoluta importanza di queste definizioni. Infatti in un piano cartesiano l’ipotenusa è normalmente una distanza orizzontale, mentre l’angolo a è l’azimut del punto misurato con lo strumento durante le operazioni di rilievo. Quindi basterà moltiplicare questa ipotenusa per seno e coseno per ottenere la differenza di coordinate fra il punto di stazione e il punto considerato.
Naturalmente vale anche l’opposto: dalla differenza di coordinate si può risalire all’azimut, e da questo alla distanza fra i punti (anche se, disponendo dei Dx Dy, si preferisce usare direttamente Pitagora).
Se poi “giriamo” il disegno in un piano verticale scopriremo che abbiamo a che fare con la distanza inclinata (ipotenusa), con quella orizzontale (cateto adiacente) e con il dislivello (cateto opposto). Naturalmente bisogna fare attenzione a sfericità, rifrazione e altri elementi del genere.
Ancora un piccolo esempio a dimostrazione dell’importanza della risoluzione dei triangoli rettangoli (per convincere i più riottosi).
Sia da verificare una scogliera con pendenza di 2:3 come quella dello schizzo.
Come si vede si tratta di una perdita di quota di due parti (ad esempio 2 metri) ogni 3 parti di sviluppo orizzontale. Si disponga di un teodolite centesimale. Il topografo dovrà determinare l’angolo di inclinazione della parete: basterà ricordare che
atan a = cateto opposto / cateto adiacente
atan a = 2 / 3 = 37.4334gon
In questo modo sarà possibile controllare la bontà del lavoro impiegando lo strumento topografico.
Non ho elencato queste formule per sadismo. Esse trovano applicazione pratica ogni giorno in cantiere. Servono nei casi in cui bisogna “inventarsi” una soluzione che permetta di sbrogliarsela senza far ricorso a complicati programmi di topografia. Ampi esempi di questi nella sezione “download”, in particolare al link “cedimenti e assestamenti”.
Le calcolatrici
Ancora un breve doveroso cenno alle calcolatrici. Intendo quelle tascabili che normalmente trovano posto nella borsa o nella tasca del topografo.
La trasformazione fra coordinate polari (quelle che si ottengono per angolo e distanza usando uno strumento topografico) e quelle cartesiane (le famose xy, che si calcolano dalle precedenti) sono così importanti che tutte le calcolatrici scientifiche fra le loro funzioni hanno una trasformazione.
L’unica cosa cui porre attenzione è che spesso le “macchinette” hanno una vocazione matematica, per cui l’azimut zero coincide con l’asse della x (quella delle ascisse, orizzontale) ed è normalmente visto in senso antiorario.
Nessuna paura: per lo più è sufficiente invertire l’input, scambiando x e y per ottenere risultati conformi alle abitudini topografiche.
La funzione è normalmente contrassegnata dai simboli “P->R” (da Polari a Rettangolari) e “R->P” (da Rettangolari a Polari).
Non essendo una funzione usata frequentemente (nell’odierna era dei computer che provvedono ai nostri bisogni) per verificarne il funzionamento in assenza del libretto di istruzioni io utilizzo il seguente trucchetto:
Per P->R imposto un angolo molto piccolo, ad esempio 1° e un raggio abbastanza grande, 100 m. Quindi faccio la trasformazione e valuto i risultati: la x deve essere molto piccola e positiva e la y deve essere molto simile a 100 e positiva
Per R->P imposto una x molto piccola, ad esempio 1 m, ed una y molto grande, ad esempio 100 m. Quindi faccio la trasformazione e valuto i risultati: l’angolo deve essere minimo mentre la lunghezza del vettore sarà molto simile a 100.
In conclusione….
Non voglio infierire. Ci sarebbe ancora da parlare della risoluzione dei triangoli qualunque e accennare alla livellazione trigonometrica (di cui peraltro si dà una formula sempre nella sezione “download”, in particolare al link “livellazione trigonometrica”). E poi di chissà quanto altro!
Ma a parte qualche raro caso, risolvibile con un buon manuale, ormai c’è già chi ha pensato per conto nostro.
E ha scritto dei bei programmi di topografia che faremo bene ad imparare ad usare con padronanza assoluta.