Instituto de Matemáticas UNAM Cuernavaca
Fecha: 14 de Mayo de 2021
Foto: Colección Oberwolfach
Grupos modulares y orbifolds usando los cuaterniones
El álgebra de división H de los cuaterniones contiene como subanillos discretos a los enteros de Lipschitz H(Z) y a los enteros de Hurwitz Hur(Z). Se puede, por tanto, formar el grupo PSL(2, H), correspondiente a matrices 2×2 con entradas cuaterniónicas el cual actúa por transformaciones conformes en la 4-esfera y es el análogo de PSL(2, C) que actúa conformemente en la 2-esfera. El grupo PSL(2, H) contiene como subgrupos discretos a PSL(2, H(Z)) y PSL(2, Hur(Z)). Definiremos un subgrupo PSL(2, L) ⊆ PSL(2, H(Z)) el cual es una generalización del grupo modular clásico PSL(2, Z). También definiremos otro subgrupo discreto PSL(2, H) el cual se obtiene usando en las entradas de la matriz enteros de Hurwitz y en particular el grupo de orden 24 de las unidades de Hurwitz. El grupo PSL(2, H) contiene como subgrupo de orden 3 al grupo PSL(2, L). En analogía con el caso modular clásico estos grupos actúan propia, discontinua e isométricamente en el semiespacio hiperbólico cuaterniónico H1H := {q ∈ H : ℜ(q) > 0}. Describiremos los dominios fundamentales de estos grupos así como los orbifolds cocientes H1H/PSL(2, L) y H1H/PSL(2, H) los cuales son versiones cuaterniónicas del orbifold modular clásico H1C/PSL(2, Z) y son orbifolds hiperbólicos de volumen hiperbólico finito (H1C es en semiplano superior en C).
Imagen cortesía de Ettiene Ghys
Sobre Alberto
Alberto es uno de los matemáticos mexicanos más destacados, y buena parte de la matemática mexicana sería impensable sin las enormes contribuciones de Alberto. Nació en la ciudad de México e hizo su licenciatura en la Facultad de Ciencias de la UNAM. Después hizo una maestría en la Universidad de Brown y el doctorado en IMPA. Al regresar a México, impulsó la creación del grupo de sistemas dinámicos en el Centro de Investigaciones Avanzadas (CINVESTAV) y el Instituto de Matemáticas de la UNAM, grupos que aún continúan muy activos. Después de fructíferas estancias en el International Center for Theoretical Physics (ICTP) en Trieste (donde fue coordinador del área de matemáticas) y la Universidad de Lille en Francia, volvió a México a jugar un papel importante en la creación de la Unidad Cuernavaca del Instituto de Matemáticas de la UNAM, donde hasta la fecha es líder del grupo de investigación en sistemas dinámicos y áreas afines.
Alberto cuenta con más de 100 artículos publicados en revistas de alto prestigio que acumulan más de mil citas. Ha sido galardonado con diversos premios como el Premio Spirit of Abdus Salam de ICTP en 2018, Founding Fellowship de la American Mathematical Society, y el Premio Universidad Nacional en 2018.
Además de su trabajo como investigador, Alberto es conocido por su entusiasmo y generosidad para compartir ideas y generar nuevos conocimientos.