CAPITOLUL 8f
8.8. Lagăre şi rulmenţi
Un lagăr este alcătuit dintr-un arbore care se roteşte în interiorul unei suprafeţe cilindrice. Să considerăm mai întâi lagărele cu joc. În cazul rotaţiei, să presupunem că contactul dintre cele două suprafeţe se realizează într-un punct. Fiind vorba de un contact real există frecare iar suprafeţele sunt deformabile. Din această cauză apar forţe de frecare la contactul dintre cele două suprafeţe care se vor manifesta printr-un moment de frecare în lagăr care se opune mişcării şi un moment de rostogolire, datorat deformabilităţii suprafeţelor, care se manifestă la fel, printr-o opoziţie la rotaţie. Să studiem pe rând aceste două momente care se opun momentului care învârte axul.
Fig.8.56
a) Lagărul radial. Momentul de rostogolire
Dacă lagărul are joc avem situaţia din fig. 8.56. Axul este antrenat de un moment motor Mm şi suportă rezistenţe din partea mecanismului pe care-l antrenează concretizate într-un moment rezistent Mrez. Asupra axului acţionează o forţă F (care poate fi constituită din greutăţile părţilor susţinute de arbore şi alte forţe active) şi o forţă de aderenţă. Existenţa forţei de aderenţă face ca punctul teoretic de contact dintre arbore şi suprafaţa interioară a lagărului să nu fie în prelungirea forţei F. Să scriem ecuaţiile de echilibru (lagărul funcţionează în regim staţionar):
Întrucât axul se roteşte, sunt rupte ambele legături cu frecare, deci avem relaţiile limită:
; .
Din primele trei ecuaţii rezultă:
; ; .
Considerând pentru T şi Mr expresiile empirice scrise anterior, rezultă unghiul α între normala la punctul de contact şi forţa F:
şi momentul Mm-Mrez care asigură mişcarea uniformă a arborelui:
.
Menţionăm că unghiul
rămâne acelaşi indiferent dacă arborele se mişcă uniform sau accelerat. Problema poate fi simplificată în felul următor: se poate considera că nu există rostogolire şi mări corespunzător coeficientul de frecare la alunecare astfel încât rezistanţa la rotire datorată frecării de alunecare şi frecării de rostogolire să fie considerată doar efectul frecării de alunecare cu un coeficient de frecare mărit
. Dacă considerăm formula momentului de frecare într-o articulaţie scris sub forma:
şi scriem momentul care provoacă rotirea:
şi egalăm cele două expresii, se obţine:
.
Observaţii: Uneori se ia în locul normalei, în formula momentului de frecare în articulaţie, forţa F. Acest lucru nu este corect întrucât, datorită forţei de aderenţă care apare, arborele se deplasează din punctul teoretic de contact iar normala este, din acest motiv, în general mai mică decât forţa F.
b) Rulmenţi. Frecarea în lagăre de rostogolire
În acest caz, dacă studiem bila (rola) cu indicele i şi considerăm că avem frecare de rostogolire, fără alunecare, iar forţa care solicită corpul de rostogolire este Ni , momentele de frecare la rostogolire vor fi
şi . Aceste momente de rostogolire trebuie să fie egale cu momentul dat de forţele tangenţiale care rostogolesc bila (sau rola) şi care este dat de formula:
unde r este raza bilei (rolei). Ecuaţia de momente scrisă pentru corpul de rostogolire ne va da:
Fig.8.57. Frecarea în rulmenţi
Dacă s şi sunt coeficienţii de frecare la rostogolire avem:
.
Dacă R este raza inelului interior iar Mm momentul care învârte axul lagărului, se poate scrie
Dacă adunăm toate momentele de frecare care apar pentru fiecare corp de rostogolire în parte, se obţine:
de unde:
deci:
Momentul necesar pentru a învinge forţele de frecare din rulment se obţin cu formula de mai sus şi depinde de raza lagărului, raza rulmentului, coeficienţii de frecare la rostogolire şi sarcina care solicită bilele. Problema nu este încă rezolvată. În expresie apare suma
a carei valoare minimă este P, forţa care solicită lagărul, în cazul în care contactul s-ar face pe o bilă. Dar întrucât acest contact se face în mod normal pe câteva bile, această valoare este mai mare, valoarea ei fiind determinată de legea de distribuţie, aleasă empiric, a forţei de apăsare P pe bilele rulmentului.
Toate frecările, care sunt de rostogolire, pot fi echivalate teoretic cu o frecare la alunecare care, în prezenţa unor forţe normale de apăsare pe inelul interior al rulmentului, fac să apară forţe de frecare care vor da un moment de frecare egal cu cel calculat anterior. Acest coeficient de frecare la alunecare echivalent trebuie să fie:
şi dă momentul de frecare la alunecare:
.
Fig.8.58. Bolta
8.9. Bolta
Bolta reprezintă o soluţie constructivă care permite obţinerea unor deschideri mari la clădiri, poduri, etc. Greutatea construcţiei de deasupra nu este preluată de o grindă, soluţie clasică la începuturile realizării de clădiri, ci de o structură alcătuită din mai multe blocuri, în general de piatră, care se sprijină unele pe altele. În final greutatea se distribuie pe sol dar în acelaşi timp apare şi o încărcare pe direcţie orizontală (fig.8.58). Componenta din centrul structurii poartă numele de cheie de boltă. Dacă acest element este scos din cadrul structurii, bolta se dărâmă. Variante constructive sunt prezentate în fig. 8.59.
Fig. 8.59. Variante constructive de boltă
Fig.8.60. Arhitectură miceniană.
Este un element mult utilizat, începând cu Egiptul antic, continuând în civilizaţia greacă, romană şi islamică. Deschiderea boltei este limitată de rezistenţa materialului utilizat la construcţia ei, în general piatra. Dacă se depăşesc anumite dimensiuni bolta se prăbuşeşte sub propria greutate.
Fig.8.61. Arhitectură antică egipteana
Fig. 8.62. Arhitectură gotică
În decursul timpului formele constructive au evoluat, în diversele şcoli de arhitectură utilizându-se cu precădere soluţii caracteristice, dar care în esenţă utilizează aceleaşi principii mecanice.
Fig.8.63. Arhitectură romană
Fig.8.64. Arhitectură islamică
Bolta catedralei Sfânta Sophia din Istanbul, care timp de 1000 de ani a rămas cea mai mare catedrală din lume, cu un diametru iniţial de 31.24 m, este prezentată în fig. 8.65.
8.65. Arhitectură bizantină. Bolta catedralei Sfânta Sofia
În cele ce urmează vom urmări, pe o structură simplă, modul în care se repartizează forţele în cazul unei bolte. Frecarea constituie un element important al problemei, ea contribuind la stabilitatea construcţiei.
Fig.8.66. Calculul forţelor dintr-o structură tip boltă
Pentru cheia de boltă, dacă se scrie ecuaţia de echilibru după direcţia verticală, se obţine:
;
forţa de frecare trebuind să satisfacă condiţia:
pentru echilibru. În momentul ruperii legăturii
.
Pentru unul din corpurile laterale, dacă se scriu ecuaţiile de echilibru după două direcţii, orizontală şi verticală, se obţine:
unde
pentru echilibru şi în momentul în care se rupe legătura. Din prima şi a treia ecuaţie rezultă imediat:
adică greutatea piesei centrale se transmite egal pe cele două reazeme. Stabilitatea structurii este asigurată de frecare. În momentul în care se pierde stabilitatea, ecuaţiile de echilibru devin:
; ; ;
rezultă:
de unde se poate determina coeficientul de frecare minim pentru a exista echilibru pentru această aplicaţie:
(soluţia negativă nu convine din punct de vedere fizic). Dacă această condiţie nu este asigurată, stabilitatea poate fi asigurată introducând forţe orizontale care să echilibreze componentele orizontale ale forţelor care apar. Alte referinţe în: en.wikipedia.org/wiki/Vault_(architecture).
