CAPITOLUL 4b
4.2.4. Determinarea suportului unei forţe
Să considerăm cunoscute forţa
şi momentul ei faţă de un punct (fig.4.8), (avem . = 0). Ne propunem să determinăm suportul forţei. Pentru aceasta, din ecuaţia vectorială
, trebuie să determinăm soluţia
. Pe componente, relaţia se va scrie:
(4.14)
sau
(4.15)
Se constată uşor că determinantul sistemului este zero:
(4.16)
deci sistemul nu are o soluţie unică. Sistemul poate fi compatibil nedeterminat sau incompastibil. Dacă considerăm primele două ecuaţii ca ecuaţii principale şi se calculează determinantul caracteristic, se obţine că acesta este egal cu zero:
Fig.4.8
(4.17)
în virtutea faptului că momentul şi forţa sunt doi vectori perpendiculari. Rezultă că avem un sistem nedeterminat de două ecuaţii cu trei necunoscute. Geometric, cele două ecuaţii reprezintă plane a căror intersecţie ne va da o dreaptă, care este suportul forţei.
O altă metodă de determinare a suportului forţei este cea vectorială. Astfel, dacă ecuaţia vectorială:
(4.18)
o înmulţim la stânga cu se obţine:
(4.19) ,
de unde, ţinând seama de regula de dezvoltare a dublului produs vectorial, avem:
(4.20) .
Rezultă:
(4.21)
Întrucât, în baza consideraţiilor anterioare, am văzut că nu toate componentele vectorului
sunt independente, se poate alege ca parametru expresia:
(4.22)
şi obţinem:
(4.23) .
Ecuaţia obţinută reprezintă o dreaptă care are direcţia forţei şi trece prin punctul de coordonate:
(4.24)
Vectorul reprezintă distanţa de la origine la dreaptă (este perpendicular pe forţă-provine dintr-un produs vectorial - deci şi pe dreapta suport şi în plus când λ = 0 va rezulta că extremitatea lui aparţine dreptei). Deci suportul forţei are ecuaţia:
(4.25)
sau pe componente:
(4.26)
Prin eliminarea parametrului λ dreapta se poate pune şi sub forma:
(4.27)
Aplicaţie: Se cunoaşte vectorul forţă şi vectorul moment dat de această forţă într-un punct O,
. Se cere să se determine ecuaţia dreptei suport a forţei (fig.4.9).
Soluţie: Ecuaţia dreptei suport este:
Fig.4.9. Determinarea suportului unei forţe
sau, pe componente:
Dacă se elimină λ se obţine ecuaţia dreptei suport sub forma:
adică o dreaptă care are direcţia forţei şi trece prin punctul de coordonate
. Se observă că am luat pentru forţă şi moment vectorii din aplicaţia de la punctual 4.4. Ca urmare ar trebui să obţinem ca soluţie dreapta BE. Într-adevăr, se constată că punctele E(0,0,1) şi B(1,2,0) verifică ecuaţia obţinută.
4.2.5. Momentul forţei faţă de o axă
Dacă momentul forţei într-un punct este zero atunci şi proiecţia lui pe orice direcţie va fi tot zero. Invers, dacă proiecţia momentului pe trei direcţii necoplanare este zero şi momentul este zero. Aceste considerente au dus la introducerea noţiunii de moment faţă de o axă. Se numeşte moment faţă de o axă proiecţia momentului, calculat într-un punct oarecare al axei, pe direcţia axei. Deci, dacă pe axa
considerăm un punct oarecare P (fig.4.10), atunci momentul faţă de axă pe care-l notăm
va fi dat de expresia:
(4.28) ,
unde
este versorul axei, iar valoarea lui va fi:
(4.29) .
Menţionăm că momentul faţă de o axă este un vector, reprezentând componenta momentului pe direcţia axei considerate.
Fig.4.10. Momentul unei forţe faţă de o axă
Să arătăm că definiţia dată este consistentă. În definiţie nu a fost precizat punctul de pe axă în care se face calculul momentului. Să luăm un alt punct Q pe axă (fig.4.9). Atunci avem relaţia:
(4.30)
deci rezultatul nu va depinde de punctul în care se va face calculul.
Ţinând seama că momentul faţă de o axă provine dintr-un produs mixt
(4.31)
el va fi zero când:
Ø forţa este paralelă cu axa ( vectorii
şi sunt paraleli );
Ø forţa intersectează axa (vectorii
şi sunt perpendiculari).
Dacă α, β, γ sunt componentele versorului
pe cele trei axe ale sistemului de coordonate, x, y, z componentele vectorului de poziţie
şi X, Y, Z componentele forţei , se poate scrie:
(4.32)
Fig.4.11. Identificarea componentei forţei care dă momentul faţă de axă
În fig.4.11 prezentăm forţa
, descompusă după trei direcţii, una paralelă cu axa, cealaltă după direcţia perpendicularei pe axă şi cea de-a treia perpendiculară pe primele două. Din cele spuse anterior rezultă că primele două componente nu vor da moment faţă de axă. A treia componentă va da un moment faţă de axă care va fi egal în valoare cu produsul dintre componenta respectivă şi distanţa la axă.
Calculul momentului faţă de o axă poate fi uneori folositor în rezolvarea unor probleme de statică.
4.2.6. Momentul unei forţe faţă de un punct în plan
Momentul unei forţe faţă de un punct P dintr-un plan xxx este un vector care reprezintă momentul unei forţe faţă de o axă, perpendiculară pe plan în punctul respectiv (fig.4.12).
Fig.4.12. Momentul unei forţe faţă de un punct în plan
Dacă
este direcţia perpendiculară pe plan în punctul în care facem calculul, vectorul de poziţie al punctului de aplicaţie al forţei, avem:
(4.33)
4.3. Momentul rezultant
Pentru sistemul de forţe considerat, să calculăm momentul fiecărei forţe şi apoi să le adunăm. Mărimea obţinută prin această operaţie poartă numele de moment rezultant. Dacă notăm această mărime prin
, avem:
(4.34)
sau, pe componente:
(4.35)
În reprezentare matriceală avem:
(4.36)
4.4. Torsorul de reducere al unui sistem de forţe
Poartă numele de torsor al unui sistem de forţe într-un punct ansamblul format din rezultantă şi moment rezultant calculat în punctul respectiv. Deci torsorul este o mărime compusă din doi vectori. El se notează cu
unde O reprezintă punctul în care se calculează momentul iar (S) reprezintă sistemul de forţe.
Putem scrie:
(4.37)
sau
(4.38)
.
4.5. Teorema momentului
Pentru sistemul de forţe considerat cunoaştem torsorul(rezultanta şi momentul) într-un alt punct O. Ne propunem a determina torsorul într-un alt punct P (fig.4.13).
Fig.4.13. O forţă reprezentativă a sistemului
Rezultanta va rămâne aceeaşi. Să vedem cum se modifică momentul:
sau:
(4.39)
relaţie care poartă numele de teorema momentului.
Dacă scriem relaţia anterioară sub forma:
se obţine:
(4.40)
