CAPITOLUL 4b

  şi momentul ei faţă de un punct    (fig.4.8), (avem . = 0). Ne propunem  să determinăm suportul forţei. Pentru aceasta, din ecuaţia vectorială 

 ,  trebuie să determinăm soluţia 

   (4.14)                                            

sau                                           

     (4.16)                                                 

deci sistemul nu are o soluţie unică. Sistemul poate fi compatibil nedeterminat sau incompastibil. Dacă considerăm primele două ecuaţii ca ecuaţii principale şi se calculează determinantul caracteristic, se obţine că acesta este egal cu zero:

         (4.17)                       

în virtutea faptului că momentul şi forţa sunt doi vectori perpendiculari. Rezultă că avem un sistem nedeterminat de două ecuaţii cu trei necunoscute. Geometric, cele două ecuaţii reprezintă plane a căror intersecţie ne va da o dreaptă, care este  suportul forţei.

O altă metodă de determinare a suportului forţei este cea vectorială. Astfel, dacă ecuaţia vectorială:                                         

         (4.18)                                                                                                                     

o înmulţim la stânga cu   se obţine:

      (4.19)                                     ,                   

de unde, ţinând seama de regula de dezvoltare a dublului produs vectorial, avem:            

      (4.20)                                   .                   

Rezultă:                                      

      (4.21)                                                       

Întrucât, în baza consideraţiilor anterioare, am văzut că nu toate componentele vectorului

  sunt independente, se poate alege ca parametru expresia:                                     

      (4.22)                                                                        

şi obţinem:       

      (4.23)                                            .                  

Ecuaţia obţinută reprezintă o dreaptă care are direcţia forţei şi trece prin punctul de coordonate:                                      

      (4.24)                                                                     

Vectorul     reprezintă distanţa de la origine la dreaptă (este perpendicular pe forţă-provine dintr-un produs vectorial - deci şi pe dreapta suport şi  în plus când    λ = 0  va rezulta că extremitatea lui aparţine dreptei). Deci suportul forţei are ecuaţia:

      (4.25)                                                                     

sau pe componente:                             

      (4.26)                                                                   

Prin eliminarea parametrului   λ  dreapta se poate pune şi sub forma:              

      (4.27)                                                     

Aplicaţie: Se cunoaşte vectorul forţă   şi vectorul moment dat de această forţă într-un punct O,

  . Se cere să se determine ecuaţia dreptei suport a forţei (fig.4.9).

Soluţie: Ecuaţia dreptei suport este:

Fig.4.9. Determinarea suportului unei forţe

sau, pe componente:

Dacă se elimină λ se obţine ecuaţia dreptei suport sub forma:

adică o dreaptă care are direcţia forţei şi trece prin punctul de coordonate

  . Se observă că am luat pentru forţă şi moment vectorii din aplicaţia de la punctual 4.4. Ca urmare ar trebui să obţinem ca soluţie dreapta BE. Într-adevăr, se constată că punctele E(0,0,1) şi B(1,2,0) verifică ecuaţia obţinută.

4.2.5. Momentul forţei faţă de o axă

Dacă momentul forţei  într-un punct este zero atunci şi proiecţia lui pe orice direcţie va fi tot zero. Invers, dacă proiecţia momentului pe trei direcţii necoplanare este zero şi momentul este zero. Aceste considerente au dus la introducerea noţiunii de moment faţă de o axă. Se numeşte moment faţă de o axă proiecţia momentului, calculat într-un punct oarecare al axei, pe direcţia axei. Deci, dacă pe axa 

  considerăm un punct oarecare P (fig.4.10), atunci momentul faţă de axă  pe care-l notăm  

  va fi dat de expresia:

      (4.28)                                             ,                           

unde

  este versorul axei, iar valoarea lui va fi:

      (4.29)                                                   .                        

Menţionăm că momentul faţă de o axă este un vector, reprezentând  componenta momentului pe direcţia axei considerate.

  şi   sunt paraleli );

Ø    forţa intersectează axa (vectorii 

  şi  sunt perpendiculari).

Dacă α, β, γ sunt componentele versorului 

 pe cele trei axe ale sistemului de coordonate, x, y, z  componentele vectorului de poziţie 

         Fig.4.11. Identificarea componentei forţei care dă momentul faţă de axă

În  fig.4.11 prezentăm forţa  

Continuare Capitolul 4