CAPITOLUL 8c

8.5.b. Scripetele

                                                Fig.8.25. Scripetele fix

a) Scripetele fix (fig.8.25) realizează schimbarea sensului de acţiune al forţei. În absenţa frecărilor:                            

deci   P = Q .

Dacă se consideră şi frecarea de tip columbian într-un lagăr de rază  r ecuaţia de momente scrisă  în centrul de masă:                                   

unde    trebuia să îndeplinească condiţiile:

iar:                        

 .

Din:                       

rezultă:

sau:

Inegalitatea este îndeplinită dacă  P  este cuprins între valorile:

unde:

 şi:

Dacă P=P1 atunci tendinţa de mişcare este în sens antiorar (Q tinde să rotească scripete trăgând de P) iar dacă P=P2 atunci tendinţa de mişcare este în sens orar (P tinde să rotească scripete trăgând de Q).

Dacă forţele P şi Q sunt paralele rezultatele se simplifică: 

iar inegalitatea care exprimă echilibrul devine:

Rezultă că, pentru echilibru, P trebuie să se găsească în intervalul:

       Dacă se ia în considerare şi rigiditatea firului atunci relaţiile se vor schimba. Această rigiditate se manifestă prin aceea că firul trebuie să-şi păstreze forma şi anume la înfăşurare se va îndepărta puţin de scripete iar la desfăşurare va căuta să-şi păstreze forma de cerc. Se va considera cazul mai simplu când forţa activă şi cea rezistentă sunt paralele, cazul în care ele fac un unghi putând fi tratat analog.

Ecuaţiile de echilibru vor fi:

Fig.8.26

si:

unde:

  .

Rezultă:

sau:

deci:

Dacă se notează:

  pentru funii de cânepă şi:   pentru cabluri de oţel. 

b) Scripetele mobil (fig.8.27) are rolul de a demultiplica forţa. Ecuaţia de momente scrisă în punctul A va da:

de unde:

în absenţa frecărilor. Dacă se utilizează un scripete ca în fig. 8.28, în care cele două fire fac un unghi  α, deoarece   S = P   ecuaţia de echilibru dă:

      Fig.8.27. Scripetele mobil              Fig.8.28. Scripetele mobil la care firele      

                                                                          fac un unghi α

deci:

Deci forţa minimă se obţine când   α = 0 , adică forţele sunt paralele. Dacă se va ţine seama şi de frecări, atunci se poate scrie: P = k S   şi:

deci:

8.5.c. Sisteme de scripeţi

         Sistemele de scripeţi sunt utilizate pentru a ridica şi transporta greutăţi mari. Ele sunt utilizate încă din antichitate, alături de alte maşini utilizate pentru economisirea forţei, pentru ridicarea şi transportarea greutăţilor foarte mari. Vor fi prezentate câteva sisteme de scripeţi cu largă utilizare în tehnică. În fig.8.29-8.31 sunt prezentate ruinele de la Baalbek şi modul în care greutăţile de până la 38 to au fost transportate pe locul lor în monument.

Fig.8.29.Blocuri de piatră uriaşe, din epoca romană(Baalbek). Pentru comparaţie pe  blocul din dreapta este aşezat un om.

Fig.8.30. Baalbek, tăierea, transportarea şi punerea blocurilor trilithonului

pe locul lor(schemă după J.P. Adam)

Fig.8.31. Baalbek, punerea blocurilor trilithonului pe locul lor(după J.P. Adam). 1. Masivul fundaţiilor;2.Şanţ de fundaţie;3. Sol antic; 4. Rambleu pentru şantier; 5. Cabestan pentru 32 de oameni şi grapa de ancorare

8.5.d. Palanul factorial

Este alcătuit dintr-un sistem de scripeţi legaţi de două mufle  A  şi  B. Una din mufle este fixă, iar cealaltă, mobilă, susţine greutatea. Prezentăm două variante constructive ale palanului factorial, pentru ambele calculul fiind acelaşi (fig.8.32 şi fig.8.33).

Dacă tragem cu forţa P şi mufla de jos urcă, vom avea relaţiile:

cu   .  Rezultă tensiunile din fire:

Fig.8.32. Palanul

Fig.8.33. Variantă de palan cu mufle

Mufla de jos trebuie trebuie să se afle în echilibru, ceea ce conduce la relaţia:

şi:

Dacă,  în general, avem  n  scripeţi pe o muflă, se obţine:

la urcare şi:

la coborâre. Pentru a se obţine ecuaţiile de echilibru la coborâre se înlocuieşte k cu 1/k deoarece se schimbă sensul de mişcare al corpurilor.

Pentru echilibru sistemului trebuie să avem îndeplinită relaţia:

Dacă se ia k = 1,2 se obţine:    0,3007 Q > P > 0,0829 Q iar dacă se ia k = 1,1 rezultă:   0,2296 Q > P > 0,1178 Q  . S-a considerat n=3.

Dacă se neglijează frecările (k=1) se obţine:

Dacă n = 3 se obţine în acest caz P=0,1667 Q, iar dacă n = 2 se obţine P=0,25 Q. În fig. 8.34.a  este prezentată o variantă constructivă folosită în navigaţie de foarte multă vreme iar în fig. 8.34.b şi c, variante moderne.

                    a.                                    b.                                   c. 

Fig.  8.34

8.5.e. Palanul exponenţial

Dacă se analizează fig.8.35.a se pot scrie, la urcarea lui Q, dacă se consideră şi frecările, relaţiile:

                Din aceste relaţii va rezulta simplu:

 a.                                           b.

Fig.8.35. Palanul exponenţial

În cazul în care de-a face cu n scripeţi mobili, prin inducţie matematică, se obţine relaţia:                            

Dacă se neglijează frecările (k=1) se obţine:

adică forţa se multiplică de 2n ori (de aici denumirea de palan  exponenţial).

         La coborâre relaţia dintre P şi Q se obţine schimbând pe k cu 1/k. Avem atunci:

  .

Rezultă că pentru echilibru, în general, este necesar să avem relaţia:

Continuare Capitolul 8