CAPITOLUL 4e
4.8. Reducerea sistemelor de forţe
A reduce un sistem de forţe înseamnă a înlocui sistemul găsi cel mai simplu sistem de forţe care să aibă acelaşi torsor cu sistemul dat. Putem deosebi următoarele cazuri:
·
şi .
Torsorul de reducere este nul iar sistemul de forţe este echivalent cu zero sau în echilibru. Forţele care acţionează asupra rigidului îşi fac echilibru iar corpul se va comporta la fel ca atunci când asupra lui nu ar acţiona nici o forţă.
·
şi .
Sistemul este echivalent cu orice cuplu care acţionează într-un plan perpendicular pe
şi al cărui moment să coincidă cu
în sens şi mărime:
.
·
şi .
Sistemul este echivalent cu o rezultantă unică aplicată în punctul de reducere. Deoarece, în acest caz, momentul minimal este zero rezultă că punctul de reducere aparţine axei centrale.
·
şi .
În această situaţie se pot considera două cazuri:
Ø
, deci rezultanta şi momentul sunt doi vectori ortogonali. Momentul minim este egal cu zero. În acest caz sistemul este echivalent cu o rezultantă care acţionează într-un punct de pe axa centrală. Cazul poate fi privit ca fiind echivalent cu precedentul.
Ø
, cazul cel mai general. Sistemul de forţe poate fi înlocuit cu o forţă acţionând pe axa centrală şi un cuplu reprezentat de forţele
şi - care se află într-un plan perpendicular pe axa centrală, astfel ca momentul cuplului să fie egal cu
, deci caracterizat de braţul d :
Un astfel de sistem de forţe are tendinţa să imprime rigidului o rotaţie în jurul axei centrale şi o translaţie de-a lungul ei (deci o mişcare elicoidală).
Fig.4.16
Aplicaţie: Se dă sistemul de forţe reprezentat în fig.4.16. Să se determine:
a) torsorul de reducere al sistemului de forţe în punctul C ;
b) torsorul de reducere în origine;
c) momentul minim;
d) axa centrală a sistemului de forţe.
Soluţie. a) Scriem expresiile vectoriale ale forţelor:
Rezultanta sistemului de forţe este:
.
Calculăm momentul fiecărei forţe în punctul C:
;
;
;
;
.
Momentul rezultant va fi:
.
Torsorul de reducere al sistemului de forţe în punctul C va fi:
b)
Torsorul de reducere în punctul O va fi:
c)
d) Ecuaţia axei centrale este dată de relaţia:
sau, pe componente:
(forma parametrică a axei centrale).
Fig.4.17
Dacă se elimină
se poate obţine ecuaţia axei centrale sub forma:
.
În figura 4.17 sunt reprezentaţi torsorii de reducere în punctul O şi C şi axa centrală pentru acest sistem de forţe.