CAPITOLUL 7b

2. Într-un cilindru de rază R se găsesc două sfere egale, de rază r şi greutate G. Să se determine ce greutate P trebuie să aibă cilindrul astfel încât să nu se răstoarne (fig.7.4a).

Fig.7.4.a şi b

Fig.7.4.c

a) Metoda izolării corpurilor (fig.7.4c)

Asupra bilelor acţionează forţe concurente şi atunci, în cazul echilibrului forţelor, ecuaţia de momente este identic satisfăcută. Deci pentru cele două bile se vor scrie ecuaţiile de echilibru pentru forţe. Avem, pentru prima sferă:

(i)

(ii)

şi pentru cea de a doua:

(iii)

(iv)

În cazul echilibrului cilindrului avem de-a face cu o problemă plană iar ecuaţiile de echilibru vor fi:

(v)

(vi)

(vii)

Ecuaţia de momente s-a scris pentru punctul D, în jurul căruia se va produce răsturnarea. S-a considerat ecuaţia de momente pentru echilibru limită, deci oricare ar fi valoarea forţei P mai mică decât cea obţinută în acest caz, ea va asigura echilibru. Forţa totală a reacţiunii solului N5 acţionează în D numai în momentul răsturnării, în rest ea fiind o forţă distribuită pe conturul cercului de bază al cilindrului, cu poziţia centrului de presiune între centrul cercului şi punctul D. Avem un sistem de şapte ecuaţii cu şase necunoscute, deci una din ecuaţii poate fi folosită pentru verificarea rezultatelor. Din (v) se obţine: N1=N3 şi, introducând în (vii):

Din (i) şi (ii) rezultă:

; ,

de unde:

b) Metoda echilibrului părţilor (fig.7.4d)

Fig.7.4.d

Se consideră că cele două sfere alcătuiesc un singur corp. Dacă se scrie ecuaţia de momente faţă centrul sferei din stânga, O1 , se obţine:

de unde:

.

Echilibrul după direcţia verticală ne dă:

.

Ecuaţiile scrise pentru cilindru rămân valabile, inclusive ecuaţia de momente:

care ne da va P.

În fig.7.4.b. s-a reprezentat un cilindru care are fund. În acest caz cilindrul nu se va mai răsturna deoarece centrul de greutate al figurii se va găsi pe axa cilindrului şi, prin capacul de pe fundul său, cilindrul va apăsa în mod uniform asupra solului.

3. Se consideră un sistem alcătuit din două bare, una în formă de sfert de cerc de rază a şi solicitată la mijloc cu o forţă concentrată P, acţionând la 45o faţă de orizontală iar cealaltă dreaptă, fiind solicitată de o forţă distribuită, acţionând perpendicular pe ea, de o intensitate p=P/a. Se pune problema determinării reacţiunilor care vor apare în articulaţiile A, B şi C (fig.7.5).

Fig.7.5

Mai întâi se înlocuieşte forţa distribuită cu o forţă concentrată F care, pentru situaţia dată, va acţiona în mijlocul barei drepte. Valoarea forţei F va fi:

Dacă se separă sistemul în cele două corpuri AB şi BC şi se introduc reacţiunile impuse de articulaţii în A, B şi C, se vor putea scrie ecuaţiile de echilibru pentru fiecare dintre cele două bare. Se va obţine:

pentru bara în formă de sfert de cerc şi:

Rezultă:

Valorile negative pentru forţe semnifică faptul că pe figură ele au fost puse invers decât acţionează în realitate.

Fig.7.6

3. Se consideră un sistem alcătuit din două bare AB şi BC încărcate cu forţe concentrate şi distribuite ca în fig. 7.6. În punctul A avem o încastrare, în B o articulaţie iar în C un reazem. Ne propunem să determinăm care sunt reacţiunile care apar în punctele A, B şi C.

Sarcinile distribuite triunghiular pe bara AB se înlocuiesc, la o treime de baza triunghiului, cu o sarcină concentrată egală cu 3P/2. Sarcinile cu distribuţie constantă de pe bara BC se înlocuiesc, la distanţa a de punctul C cu o forţă concentrată egală cu 2P. În acest caz, dacă se introduc forţele de legătură în încastrarea A, în articulaţia B şi în reazemul din C, cele două bare vor fi solicitate la forţele exterioare şi de legătură reprezentate în fig. 7.7.

Fig.7.7

Ecuaţiile de echilibru, scrise pentru fiecare dintre cele două bare, vor fi:

De aici rezultă reacţiunile necunoscute:

.

4. Un corp în formă de paralelipiped dreptunghic este aşezat pe doi cilindrii egali. Dacă se cunoaşte coeficientul de frecare la alunecare μ şi coeficientul de frecare la rostogolire s se cere să se determine condiţiile în care acest corp rămâne în echilibru.

Fig.7.8

Soluţie. Forţele şi momentele care acţionează asupra corpului şi a unui cilindru (problema fiind simetrică considerăm numai un singur cilindru) sunt reprezentate în fig.7.8. Dacă se consideră corpul paralelipipedic suficient de îngust astfel încât să putem considera, în mod idealizat, că greutatea se împarte în două reacţiuni egale, se pot scrie ecuaţiile de echilibru:

.

Forţele de aderenţă şi momentele de rostogolire trebuie să îndeplinească condiţiile:

5. Un cilindru de rază R se sprijină pe două jumătăţi de cilindru de aceeaşi rază R. Între semicilindrii şi planul orizontal există frecare, coefcienţii de frecare fiind μ. Centrele celor trei cilindrii formează un triunghi isoscel cu unghiul la bază egal cu 45o. Dacă greutatea semicilindrilor este G să se determine greutatea maximă P pe care poate să o aibă cilindrul superior astfel încât sistemul să rămână în echilibru.