CAPITOLUL 5d

5.8. Centrul de masă al figurilor compuse

         Să considerăm un corp care poate fi considerat ca fiind compus din două corpuri  R1 şi R2 (fig.5.24.a). Ne propunem să determinăm legătura dintre poziţia centrului de greutate pentru întregul corp şi poziţiile centrelor de greutate ale corpurilor componente. Scriind expresia centrului de greutate pentru întregul corp şi ţinând seama de proprietăţile de aditivitate ale integralei, se obţine: 

Fig.5.24. Centrul de masă al figurilor compuse

           (5.26)

Am folosit relaţiile:

de unde:

                   (5.27)

Pe componente, se va putea scrie:

                                          (5.28)

În cazul în care avem de-a face cu  n corpuri, formulele vor deveni:

                                                                                                            ,                 (5.29)

sau, pe componente:

                                                                                (5.30)

   .

         În cazul în care avem plăci plane cu aceeaşi grosime, rezultă formulele:

                                             ;            (5.32)

                                                        (5.33)

                    .

         În cazul în care corpul R poate fi considerat ca fiind alcătuit dintr-un sistem R1 din care lipseşte al doilea R2 (fig.5.24.b), ţinând seama de aceeaşi proprietate de aditivitate a integralei, se poate scrie:

                                                                                           (5.34)

sau, pe componente:

                                                        (5.35)

Aplicaţii: 1. Să se determine centrul de greutate al unei figuri alcătuită din trei linii materiale omogene, în formă de jumătate de cerc, ca în fig. 5.25.

Fig.5.25

Soluţie: Efectuăm calculul tabelar:

2. Să se determine centrul de greutate plăcii plane omogene din fig.5.26.

Fig.5.26

3. Să se determine poziţia centrului de greutate pentru corpul compus din plăci omogene din fig.5.27.

Fig.5.27

Soluţie: Corpul poate fi considerat ca fiind compus din triunghiul AOC, triunghiul AOB, semicercul de diametru OC şi jumătatea de suprafaţă cilindrică definită de punctele OBCD. Centrele de masă ale celor patru plăci vor avea coordonatele:

 ;   (pentru triunghi dreptunghic centrul de masă se va găsi ducând paralele la catete, la distanţa de o treime din cateta perpendiculară)  

  (pentru jumătate din disc am folosit formula 4R/3π); 

  (pentru jumătatea de suprafaţă cilindrică, dacă este privită din faţă are aspectul unei linii materiale omogene în formă de jumătate de circumferinţă, pentru care se aplică formula 2R/π). Facem calculul tabelar.

4. Să se determine centrul de greutate al corpului alcătuit din plăci omogene ca în fig. 5.28.

Fig.5.28

Soluţie: Sistemul poate fi descompus în părţile sale constitutive ca în fig.5.29. 

Fig.5.29

Calculul este condus tabelar:

5. Să se determine ce înălţime H trebuie să aibă un con aşezat peste o semisferă de rază R ca în fig. 5.30 astfel încât să rămână în echilibru indiferent cum îl aşezăm pe o suprafaţă orizontală.

Fig.5.30

Soluţie:  Figura este alcătuită dintr-un con de rază R şi înălţime H şi o semisferă de rază R. Pentru ca figura să rămână în echilibru oricum am aşeza-o cu semisfera pe planul orizontal este necesar ca centrul de greutate să fie în centrul semisferii (z c= 0 ).

         Pentru semisferă avem:

                                               iar pentru con:

 de unde rezultă:

Condiţia ca  z c= 0 conduce la :

de unde:

6. Să se determine ce înălţime H trebuie să aibă o piramidă aşezată peste un  semicilindru de rază R şi înălţime 2R ca în fig. 5.31 astfel încât să rămână în echilibru indiferent de unghiul sub care îl aşezăm pe o suprafaţă orizontală.

Fig.5.31