3
STATICA SISTEMELOR DE PUNCTE MATERIALE
3.1. Introducere
Capitolul care urmează are mai mult o importanţă pentru construcţia teoretică a mecanicii şi motivează introducerea şi utilizării unei noţiuni extrem de importante în mecanică şi anume noţiunea de moment al forţei.
Se consideră un sistem de puncte materiale alcătuit din n particule. Fiecare punct material are vectorul de poziţie
în raport cu un sistem de referinţă considerat fix. Rezultanta forţelor exterioare care acţionează asupra punctului material i va fi notată
, iar forţa exercitată de punctul material j asupra punctului i cu . Forţele interioare vor fi egale două câte două conform principiului acţiunii şi reacţiunii:
sau:
(3.1)
Fig.3.1 Sistem de puncte materiale
În cele ce urmează ne propunem să studiem echilibrul întregului sistem. Studiul urmăreşte a justifica introducerea noţiunii de moment al forţei din capitolul următor. Această noţiune permite eliminarea forţelor de legătură dintr-un sistem de puncte materiale, având ca aplicaţie majoră studiul echilibrului rigidului şi a sistemelor de rigide.
3.2. Ecuaţiile de echilibru ale unui sistem de puncte materiale
Se consideră un sistem de puncte materiale cu masele mi. Asupra punctului i acţionează rezultanta forţelor exterioare şi forţele interioare din partea punctului j. Ecuaţiile de echilibru scrise pentru cele n puncte ale sistemului vor fi de forma:
(3.2)
unde i = 1,2,…,n. S-a făcut convenţia
(forţa exercitată de punctul material asupra lui însuşi este zero). Există 3n ecuaţii de acestă formă, 3n necunoscute poziţii de echilibru şi n(n-1)/2 necunoscute forţe de legătură, deci problema este în general nedeterminată. Pentru a putea determina poziţiile de echilibru sau forţele interioare trebuiesc introduse condiţii suplimentare sau informaţii suplimentare referitoare la natura forţelor interioare. Să încercăm să formulăm nişte concluzii generale privind sistemul de puncte materiale.
Însumând toate relaţiile se obţine:
(3.3)
Suma forţelor interioare este:
(3.4)
în virtutea relaţiei 3.1, forţele interioare anulându-se două câte două.
Se va nota cu
suma forţelor exterioare. Se poate deci scrie:
(3.5)
Deci pentru a avea echilibru avem condiţia necesară: rezultanta forţelor exterioare care acţionează asupra sistemului trebuie să fie egală cu zero.
Mai departe se scrie legea lui Newton pentru punctul material i:
(3.2)
şi se înmulţeşte vectorial la stânga cu
:
(3.6)
Fig.3.2. Momentul forţelor interne
Adunând aceste relaţii scrise pentru toate punctele materiale se obţine:
(3.7)
Suma produselor vectoriale:
(3.8)
va reprezenta momentul forţelor exterioare sistemului, calculat în raport cu punctul O (vezi în continuare cap.4). Ultimul termen poate fi scris:
(3.9)
Conform figurii 3.3,
(3.10)
Rezulta:
(3.11)
Relaţia (3.8) devine: (3.12)
.
Rezultă că o condiţie necesară de echilibru este: Momentul rezultant al forţelor exterioare este egal cu zero.
Am considerat că noţiunea de moment este cunoscută din liceu. Ea va fi reluată şi dezvoltată în capitolul care urmează.
Se porneşte de la ecuaţia de echilibru scrisă pentru un punct material care va fi înmulţită scalar cu
:
(3.13)
.
Se adună relaţiile pentru toate punctele materiale obţinând:
(3.14)
Termenul:
(3.15)
este lucrul mecanic elementar al forţelor exterioare, iar
(3.16)
lucrul mecanic elementar al forţelor interioare. În final se obţine relaţia:
(3.17)
.
În cazul echilibrului sistemului: Lucrul mecanic elementar total al forţelor interioare şi exterioare care acţionează asupra fiecărui membru al sistemului este egal cu zero (condiţie necesară).
În rel.(3.17) a fost separat lucrul mecanic al forţelor exterioare de lucrul mecanic al forţelor interioare. Acesta din urmă este nul în cazul rigidului.
Condiţiile formulate nu sunt foarte utile pentru analiza unui sistem de puncte materiale, ele trebuiesc completate cu informaţii referitoare la tipul de legături existent între punctele materiale. Numai în acest fel se poate obţine o abordare completă a problemei, cu un set de condiţii necesare şi suficiente care vor descrie situaţia de echilibru.
Sfarsitul Capitolului 3.
