CAPITOLUL 8b
8.3. Pana
Fig.8.17
Pana este o prismă triunghiulară care se introduce între două corpuri în scopul de a multiplica forţa de apăsare (fig. 8.17), dar şi pentru a schimba direcţia de acţiune a forţei. În general secţiunea prin pană este un triunghi isocel, unghiul făcut de cele două feţe fiind egal cu 2α (fig.8.18).
Fig.8.18.
Apasând cu forţa P asupra penei, corpurile A şi B vor fi împinse cu o forţa Q . În general pana realizează o multiplicare a forţei P de care dispunem pentru a învinge o forţă mare Q (superioară lui P ). În cazul în care nu avem frecare, ecuaţiile de echilibru scrise pentru pană şi unul din corpurile asupra căruia acţionăm (din cauza simetriei se poate analiza un singur corp) vor fi:
pentru pană:
pentru corpul A:
.
Rezultă imediat:
.
Dacă α este mic, forţa necesară P va fi mică pentru o forţă Q impusă şi va reprezenta o fracţiune
din Q .
În cazul în care avem frecare, sensul forţei de frecare va depinde de tendinţa de mişcare a penei. Dacă, de exemplu, forţa P este suficient de mare pentru a provoca deplasarea corpurilor A şi B , atunci sensul forţelor de frecare este reprezentat în fig. 8.18 iar ecuaţiile de echilibru vor fi:
pentru pană:
pentru corpul A:
Se obţine:
.
Fig.8.19. Sensul forţelor de frecare la dezbaterea penei
Din această relaţie rezultă că pentru un unghi
indiferent cât de mare va fi forţa de apăsare P, nu va reuşi să clintească corpurile A şi B (sistemul se blochează). Menţionăm că P trebuie să fie inferioară sau cel mult egală cu valoarea calculată pentru a avea echilibru. În cazul în care se scoate pana, apasând cu forţa Q (fig. 8.19), scriind în mod analog ecuaţiile de echilibru, forţa P necesară pentru menţinerea echilibrului limită este:
(în ecuaţiile anterioare se schimbă sensul forţei de frecare). Forţa P va trebui să fie superioară sau cel puţin egală cu valoarea obţinută. Pentru ca pana să rămână autofixată după batere, trebuie ca P să fie nulă sau negativă (trebuie să tragem de pană pentru a o scoate), deci:
Cele două relaţii pe care le-am obţinut pentru forţa P şi consideraţiile pe care le-am făcut, ne duc la concluzia că pentru o forţa Q dată, forţa P poate fi cuprinsă în următorul interval de valori pentru a asigura echilibrul sistemului:
Fig.8.20. Coeficientul de multiplicare al forţei
Condiţia ca la baterea penei forţa P să fie multiplicată este: P < Q, deci
sau
,
.
Forţa P va fi multiplicată de:
În fig. 8.20 este prezentat acest raport. Rezultă că pentru ca o pană să-şi îndeplinească scopul este necesar ca frecarea între pană şi corpuri să fie mică iar unghiul făcut de cele două feţe ale penei să fie cât mai mic.
Fig.8.21. Şurubul utilizat pentru presă(a), cric(b), menghină (c)
8.4. Şurubul
Mişcarea şurubului în piuliţă este o mişcare elicoidală (fig.8.21). Notăm cu α unghiul de înclinare al spirei şurubului. Considerăm un element
al şurubului (fig.8.22). Asupra lui vor acţiona forţele normala şi
(forţa de frecare). Scriind ecuaţia de echilibru după direcţia de mişcare se obţine:
iar ecuaţia de momente faţă de axa de rotaţie dă:
S-a notat cu r raza medie a şurubului. Dacă din prima ecuaţie se scoate
rezultă, după grupări şi calcule simple, momentul necesar pentru a realiza forţa de apăsare Q:
Fig.8.22.
La deşurubare, forţele de frecare îşi schimbă sensul şi momentul M necesar pentru ca şurubul să se mişte uniform sub acţiunea forţei Q este:
.
Condiţia de echilibru pentru şurub este:
Condiţia de autofixare a şurubului este ca, lăsat liber (P = 0), el să rămână în echilibru, adică oricât de mare ar fi, forţa de apăsare Q să nu poată să-l scoată afară din piuliţă, deci:
de unde:
. Se mai observă că dacă atunci indiferent cât de mare va fi momentul cu care se acţioneaza, şurubul nu va putea fi introdus în piuliţă.
Se observă că mişcarea şurubului este echivalentă cu mişcarea unui corp pe un plan înclinat.
8.5. Scripeţi
8.5.a. Troliul
Troliul reprezintă o maşină utilizată la ridicarea greutăţilor. Dacă se neglijează frecările, ecuaţia de momente faţă de axa de rotaţie va da:
Fig.8.23. Troliul
Fig.8.24. Troliu cu rază variabilă
de unde:
.
Dacă se ţine seama şi de greutatea cablului, notând cu l lungimea porţiunii care atârnă şi q greutatea unităţii de lungime, se obţine, din ecuaţia de momente:
de unde:
.
Pentru ca forţa P să nu varieze cu lungimea, se utilizează troliul cu tambur tronconic, construit astfel ca produsul
. Tamburul tronconic asigură, aproximativ, o astfel de lege.
Problema propusă: Să se determine condiţiile şi forma exactă a tamburului astfel încât produsul ( Q + q l ) r să fie riguros constant.