CAPITOLUL 5b

5.6. Calculul poziţiei centrelor de greutate (masă)

 

Bară.  Pentru o bară dreaptă, cu secţiune constantă, alcătuită dintr-un material omogen, din considerentele de simetrie enunţate mai sus,centrul de masă se va găsi în centrul ei.

 

Fig.5.5. Centrul de greutate  se

                                             află pe mediană

 

Triunghi. Un triunghi poate fi conceput ca fiind alcătuit din bare de grosime infinitezimală (fig.5.5). Pentru fiecare astfel de bară centrul de greutate se va afla la mijlocul ei. Dacă unim toate aceste puncte se obţine mediana triunghiului. Rezultă că centrul de greutate al triunghiului trebuie să se găsească pe mediana lui. Raţionamentul poate fi aplicat şi pentru celelalte două laturi ale triunghiului. Va rezulta că centrul de masă se găseste la intersecţia medianelor. Din geometria analitică se ştie că pentru a determina coordonatele acestui punct putem folosi relaţiile:                          

unde  

  şi    reprezintă coordonatele vârfului  i  al triunghiului.

Fig.5.6. Centrul de greutate al triunghiului

 

Se cunoaşte că intersecţia medianelor se află la o treime de bază şi două treimi de vârf. Putem folosi acestă observaţie pentru a determina poziţia centrului de masă pentru un triunghi dreptunghic. Astfel dacă împărţim cele două catete în trei părţi şi ducem paralele la ele prin punctele care determina prima treime a fiecărei catete, atunci punctul de intersecţie al celor două paralele ne va da centrul de masă (fig.5.6).

 

                             Fig.5.7. Centrul de greutate al dreptunghiului

Dreptunghi.  Pentru dreptunghi (şi paralelogram), datorită simetriei, centrul de masă se va găsi în centrul de simetrie deci la intersecţia diagonalelor (fig.5.7). Dacă dreptunghiul (paralelogramul) are o orientare oarecare în spaţiu, iar 

sunt coordonate-le vârfurilor, luate într-o ordine de parcurgere orară sau antiorară, atunci coordonatele centrului de greutate sunt date de formulele:           

Fig.5.8. Centrul de greutate al arcului de cerc

 

Arc de cerc. Pentru un arc de cerc din fig.5.8, datorită simetriei, avem 

  . Rămâne de calculat  . Avem:

   .

 Se observă că avem relaţiile: 

  ;    . Unghiul   θ   are o variaţie de la   - α  până la   α, deci putem scrie:

  .

În cazul când avem de calculat centrul de masă a unei jumătăţi din circumferinţa unui cerc (fig.5.9), în formula anterioară facem   α = π/2  şi se obţine:

Dacă avem un sfert de circumferinţă, atunci alegând sistemul de axe ca în fig.5.9.b putem scrie  

  .   

 

Fig.5.9. Centrul de greutate pentru jumătate,

respectiv un sfert de circumferinţă

Coordonata 

  a centrului de greutate faţă de o axă   OY   care este prima bisectoare va fi:                             

iar coordonatele centrului de masă sunt:                                 

Fig.5.10. Centrul de greutate al sectorului de cerc

 

Sector de cerc. Pentru coordonate 

  a centrului de masă, din cauza simetriei se va putea scrie(fig.5.10):   xc= 0.   Pentru  

  se va utilize formula:

   .

 

Alegem elementul de arie un sector de cerc cu deschiderea infinitezimală  

. Aria acestui sector (asimilabil cu un triunghi)  va fi:   

   iar coordonata centrului de masă  .  Unghiul   are o variaţie de la   -α până la   α. Atunci:

 

În cazul când avem de calculat centrul de masă a unei jumătăţi din discul din fig.5.11.a, în formula anterioară facem 

  şi se obţine:      

           .

Fig.5.11. Centrul de greutate pentru jumătate, respectiv un sfert de disc

 

Dacă avem un sfert de circumferinţă atunci alegând sistemul de axe ca în fig.5.11.b putem scrie  

  . Coordonata 

  a centrului de greutate faţă de o axă  OY  care este prima bisectoare va fi:

   ,

                                    

iar coordonatele centrului de masă sunt:

    .

Fig. 5.12. Transformarea domeniului prin utilizarea coordonatelor polare

 

Sfert de elipsă. Pentru calculul centrului de greutate ale sfertului din elipsă de semiaxe  a şi b este convenabil a folosi coordonatele polare generalizate. Deci făcând schimbarea de coordonate:                                           

   , 

elementul de arie   dA   poate fi scris:

                   

Sfertul de elipsă definit de ecuaţiile:

devine:  

 = 1 ,    ,  iar coordonatele centrului de masă vor fi date de:

şi în mod analog: 

 .

Fig.5.13. Centrul de greutate al  calotei sferice

Calota sferică.  Din cauza simetriei se obţine imediat: xc=yc=0. Mai departe avem:

.

 

Se va alege elementul de arie ca în figură, deci care ar putea fi asimilată cu o fâşie de lungime   2πr   şi grosime   dL   deci de arie:   dA = 2 πr dL   . Dacă se notează unghiul care determină elementul de arie cu  θ şi variaţia lui cu   dθ, atunci se obţine:     

 

unde   R   este raza calotei sferice. Se obţine:

  .

                         

Dacă se consideră o jumătate din suprafaţa unei sfere, se obţine: