CAPITOLUL 7c
7.2. Sisteme de bare articulate (grinzi cu zăbrele)
7.2.1. Generalităţi
O structură de bare articulate este o structură idealizată, alcătuită din bare, legate între ele prin articulaţii. Frecarea din articulaţii se neglijează şi se consideră că structura este încărcată cu forţe numai în articulaţii. În fig. 7.10 se prezintă două astfel de structuri, foarte simple: una din bare
Figura 7.10
Fig.7.11
Fig.7.12
Fig.7.13
dispuse în plan iar cealaltă din bare care formează o structură tridimensională. În primul caz barele sunt legate între ele prin articulaţii cilindrice iar în cazul al doilea prin articulaţii sferice. În fig.7.11-7.13 sunt prezentate câteva structuri alcătuite din bare articulate.
Barele sunt considerate drepte şi cu secţiuni transversale de dimensiuni neglijabile. Fiecare dintre aceste bare poate fi supusă la un efort de întindere sau compresiune (fig.7.14). Astfel dacă la unul din capetele barei ar mai exista o componentă a forţei după direcţia perpendiculară, atunci pentru ca bara să rămână în echilibru, la celălalt capăt ar trebui să acţioneze o forţă egală şi de sens opus. Dar atunci perechea de componente perpendiculare pe bară vor provoca un moment care va roti bara, deci echilibrul se pierde.
Fig.7.14
Deci, în fiecare bară va exista un efort de tracţiune sau compresiune care se va manifesta asupra barei şi, conform principiului acţiunii şi reacţiunii, şi asupra elementelor care fac legătura între bare (asupra bolţurilor sau articulaţiilor sferice care realizează legătura tehnologică dintre bare).
În figura 7.12 este reprezentată o articulaţie cilindrică care face legătura dintre două bare ale unei structuri plane. Este necesar ca forţele care acţionează asupra bolţului, care este considerat un punct material, să-şi facă echilibrul. Această observaţie va conduce la una din metodele de rezolvare a sistemelor de bare articulate şi anume metoda izolării nodurilor.
Fig.7.15
În realitate, conexiunile între elemente în structurile reale nu se fac numai prin articulaţii ci sunt şi alte sisteme tehnice care se comportă, din punct de vedere mecanic, ca şi articulaţiile cilindrice, adică capacitatea de a prelua momente de încovoiere este zero sau foarte redusă. Spre exemplu, în structura unui pod, barele sunt asamblate cu nituri, prin elemente suplimentare numite gusee sau prin sudură (fig. 7.16).
Fig.7.16
Pentru studiul unui astfel de sistem ar trebui să-l descompunem în părţile componente, să figurăm forţele aplicate şi cele care apar în legăturile dintre elemente şi să scriem ecuaţiile de echilibru pentru fiecare element (bară sau bolţ).
Fig 7.17. Denumirea comercială a unor tipuri de structuri de bare articulate des utilizate
7.2.2. Metoda izolării nodurilor
Metoda izolării nodurilor se bazează pe observaţiile care le-am făcut anterior, şi anume că barele sunt întinse sau comprimate, deci pot fi înlocuite cu o forţă de compresiune sau întindere care acţionează asupra bolţurilor structurii. Deci ecuaţiile de echilibru trebuie scrise numai pentru bolţurile care determină legăturile dintre elemente şi pe care în continuare le vom numi noduri. A face echilibrul structurii revine la a face echilibrul fiecărui nod al structurii. Menţionăm că într-un nod forţele sunt concurente, deci se pot scrie doar două ecuaţii de echilibru, reprezentând proiecţiile după două axe a ecuaţiilor de echilibru vectorial. Ecuaţiile de momente sunt identic satisfăcute de forţele concurente, în punctul de concurenţă. Numărul de ecuaţii obţinut în acest fel este 2n unde n este numărul de noduri ale structurii (câte două ecuaţii pentru fiecare nod).
Fig.7.18
Necunoscutele problemei sunt eforturile care apar în bare şi forţele de reacţiune care apar în legăturile exterioare ale sistemului, care pot fi reazeme sau articulaţii. Dacă se notează cu b numărul de bare atunci condiţia ca numărul de ecuaţii să corespundă cu numărul de necunoscute este ca
dacă structura este în contact cu spaţiul fix printr-o articulaţie şi un reazem (o articulaţie introduce două necunoscute componente ale forţei de reacţiune iar un reazem introduce o necunoscută, reacţiunea în reazem) şi
dacă structura este în legătură cu spaţiul fix prin două articulaţii (fiecare articulaţie introduce două necunoscute componente ale forţei de legătură). În fig. 7.17 structura este legată de sistemul fix printr-o articulaţie şi un reazem, deci se aplică prima formula care se constată că este verificată identic. Deci numărul de necunoscute este egal cu numărul de ecuaţii şi, fiind vorba de un sistem linear, avem de-a face cu o singură soluţie. În fig. 7.18 structura este legată de spaţiul fix prin două articulaţii, deci este aplicabilă a doua formulă, care se constată că este valabilă, deci numărul de necunoscute coincide cu numărul de ecuaţii.
Fig.7.19
Când cele două formule prezentate sunt satisfăcute, spunem că problema este static determinată. Există însă cazuri în care numărul ecuaţiilor este mai mic decât numărul necunoscutelor (
sau ) (fig.7.19.b). În acest caz spunem că problema este static nedeterminată şi este nevoie de ipoteze suplimentare pentru a rezolva problema (spre exemplu ipoteze privind elasticitatea barelor). Se poate întâmpla şi cazul în care numărul de ecuaţii să fie mai mare decât numărul necunoscutelor (
sau
). În acest caz ecuaţiile de echilibru nu se mai pot scrie întrucât structura se mişcă (este un mecanism)(fig.7.19.c).
Fig.7.20
Condiţiile
sau sunt necesare dar nu sunt şi suficiente. Spre exemplu, în fig.7.20 structura îndeplineşte condiţia
dar structura nu este static determinată deoarece avem un mecanism legat de o structură static nedeterminată.
Metoda izolării nodurilor constă deci în înlocuirea barelor cu forţele care apar în ele, izolarea nodurilor şi scrierea ecuaţiilor de echilibru pentru fiecare nod în parte. Dacă se utilizează teorema solidificării, se pot scrie ecuaţiile de echilibru pentru întrega structură şi aşa se pot determina necunoscutele forţe de legătură, care apar în legăturile exterioare ale structurii cu spaţiul fix. Acest lucru se poate face numai în cazul în care legăturile sunt asigurate de o articulaţie şi un reazem când numărul de necunoscute este trei, întrucât dispunem doar de trei ecuaţii de echilibru, două reprezentând proiecţiile ecuaţiilor vectoriale de echilibru după cele două axe iar a treia ecuaţia de momente.
Dacă legăturile sunt asigurate prin două articulaţii,ecuaţiile de echilibru exterior nu mai sunt suficiente şi trebuie făcut echilibrul fiecărui nod.
Fig.7.21
Exemple:
E1. Vom efectua calculul pentru bara din fig. 7.21 analizată anterior. Numărul de noduri este n=5, numărul de bare este b=7, iar legăturile exterioare (un reazem şi o articulaţie) introduc 3 necunoscute exterioare. Relaţia de determinabilitate
este satisfăcută, deci numărul de ecuaţii va coincide cu numărul de necunoscute. Se calculează reacţiunile exterioare, scriindu-se ecuaţiile de echilibru pentru întrega structură:
.
Rezultă:
Pentru nodul 1 (fig.7.22.a) putem scrie ecuaţiile de echilibru:
cu soluţia:
.
Rezultă că efortul în bara 1 este de compresiune (invers decât l-am pus pe figură) iar efortul în bara 2 este de întindere (direcţia din figură corespunde). Avem:
Pentru nodul 2 se poate scrie(fig.7.22.b):
cu soluţia:
.
Efortul în bara 3 este de întindere iar în bara 4 de compresiune.
Pentru nodul 3 avem (fig.7.22.c):
cu soluţia:
. Eforturile în barele 5 şi 6 sunt de întindere.
Pentru nodul 4 se poate scrie (fig.7.22.d):
.
Din prima ecuaţie rezultă
adică efortul în bara 7 este de compresiune. A doua ecuaţie cât şi ecuaţiile de echilibru scrise pentru nodul 5 trebuie să fie identic satisfăcute, deci ele reprezintă o verificare a corectitudinii calculelor efectuate.
