2cc
2.2.3. Echilibrul punctului material supus la legături reale(cu frecare)
2.2.3.1. Legături cu frecare. Frecare de alunecare. Coeficient de frecare. Con de frecare
În multe cazuri practice nu se poate neglija influenţa asperităţilor, care determină frecarea între punctul material şi o suprafaţă sau o curbă. În acest caz va apare o forţă de rezistenţă la tendinţa mişcării în direcţia tangenţială a unei curbe sau în planul tangenţial al unei suprafeţe, pe care o vom numi forţă de frecare la alunecare. Forţa de frecare nu poate fi oricât de mare ca în cazul normalei ci, experimental, s-a constatat că are o valoare limită ce depinde de valoarea apăsării normale şi de natura suprafeţelor în contact.
Fig.2.10. Determinarea legilor frecării
Experienţă(Coulomb). Pe un plan orizontal se aşează un corp de greutate G pe care îl asimilăm unui punct material. Acesta este legat printr-un fir inextensibil , care trece peste un scripete foarte mic, care nu are frecări, de un taler pe care se pun greutăţi. Dacă se pun greutăţi, se observă că la început greutăţile puse sunt echilibrate, în mod evident, de forţa de frecare T. Mărindu-se greutăţile care se pun pe taler se constată că la o anumită valoare limită sistemul începe să se mişte, deci legătura este ruptă. Această valoare limită a greutăţilor corespunde valorii maxime a modulului forţei de frecare. Experienţele efectuate cu diferite greutăţi, diferite materiale pentru corpul G a dus la formularea legilor frecării:
Ø Valoarea forţei maxime de frecare nu depinde de mărimea suprafeţei în contact dintre cele două corpuri iar dacă se produce mişcare, forţa de frecare nu depinde nici de viteza relativă;
Ø Valoarea forţei maxime de frecare depinde de natura corpurilor aflate în contact
Ø Valoarea forţei maxime de frecare este proporţională cu modulul reacţiunii normale
(2.53)
în care
se numeşte coeficient de frecare la alunecare. Acesta este o mărime adimensională. Coeficientul de frecare se determină experimental, pentru o pereche de suprafeţe aflate în contact şi este o constantă asociată suprafeţelor. El poate varia considerabil pentru două suprafeţe în funcţie şi de alţi factori iar pentru câteva cazuri mai des întâlnite în practică valoarea coeficientului de frecare, determinată experimental, este prezentată mai jos:
· Lemn pe lemn 0,25-0,50;
· Metal pe lemn 0,20-0,60;
· Metal pe metal 0,15-0,30;
· Metal pe piele 0,30-0,60;
· Lemn pe piele 0,25-0,50;
· Piatră pe piată 0,40-0,65;
· Metal pe piatră 0,30-0,70;
· Pământ pe pământ 0,25-1,00.
Fig.2.11. Conul de frecare pentru un
plan orizontal
Coeficientul de frecare definit mai sus se numeşte coeficient de frecare statică. Dacă cele două suprafeţe au o mişcare mai îndelungată una faţă de cealaltă atunci frecarea care apare între suprafeţe este definită de coeficientul de frecare dinamic (cinetic). Coeficientul de frecare dinamic este influenţat de mai mulţi factori decât cel static şi, într-o primă aproximaţie, se poate afirma că este mai mic decât el şi nu depinde de viteza relativă a suprafeţelor în contact (Morin, 1831). Experienţele au arătat totuşi că la viteze mari coeficientul de frecare la alunecare scade cu viteza. De asemenea, pentru viteze mici care se apropie de zero, coeficientul de frecare creşte, tinzând continuu către valoarea coeficientului de frecare static. Pentru suprafeţele lubrificate pot apărea şi alţi factori care să influenţeze coeficientul de frecare (spre exemplu temperatura).
Deci forţa de frecare este tangentă la suprafaţa sau la curba pe care stă punctul material, sensul este în mod contrar tendinţei de mişcare iar mărimea este inferioară mărimii maxime date de legea lui Coulomb (
). Condiţia de echilibru impus de frecare este exprimată printr-o inegalitate, deci este în general nedeterminată. Nedetrminarea matematică se exprimă în limbajul ingineresc prin afirmaţia că există o zonă geometrică ( o infinitate de puncte) în care corpul este în echilibru. Dacă interesează poziţia de echilibru limită, când inegalitatea se transformă în egalitate, problema devine determinată.
Con de frecare. Să considerăm un punct material de greutate G obligat să rămână pe o suprafaţă orizontală (fig.2.11) asupra căruia acţionează o forţă orizontală F. Coeficientul de frecare este egal cu μ. Reacţiunea R face un unghi α cu normala. Unghiul α verifică relaţia:
(2.54)
Fig.2.12. Conul de frecare
Dacă se notează cu φ unghiul dintre reacţiune şi normala la plan în cazul echilibrului la limită, avem:
(2.55)
Întrucât la echilibru avem: rezultă:
sau
(2.56)
sau
. (2.56’)
Unghiul φ poartă numele de unghi de frecare. Unghiul ascuţit α definit ca unghiul dintre reacţiune şi normala la plan este egal cu unghiul dintre rezultantă şi normală, deoarece rezultanta şi normala sunt doi vectori cu acelaşi suport. În acest caz condiţia de echilibru poate fi formulată sub forma:
Rezultanta forţelor efectiv aplicate trebuie să facă cu normala un unghi inferior unghiului de frecare.
Să considerăm în continuare toate dreptele care fac cu normala un unghi φ. Locul geometric al tuturor acestor drepte formează un con numit conul de frecare.
Deoarece, pentru echilibru, suportul rezultantei trebuie să facă cu normala un unghi mai mic decât unghiul de frecare, rezultă că se poate scrie condiţia de echilibru sub forma:
.
Fig.2.13
Pentru ca un punct material să se găsească în echilibru pe o suprafaţă aspră într-un punct A, este necesar ca rezultanta forţelor efectiv aplicate să se găsească în interiorul conului de frecare din acel punct.