pagina5

Fig.2.6

care oferă valorile parametrilor u  şi  v  pentru poziţia de echilibru.

Dacă se utilizează condiţia ca produsul vectorial să fie nul, vom alege două din relaţiile:

                                          r2.53      (2.34)

Două dintre aceste ecuaţii, împreună cu ecuaţia suprafeţei, oferă cele trei ecuaţii necesare pentru determinarea punctelor de echilibru.

Aplicaţii. 1. Să considerăm un punct material obligat să stea în echilibru pe cilindrul eliptic orizontal r2.54 sub acţiunea greutăţii  r2.55 şi a unei forţe orizontale  r2.56 . Se cer punctele de echilibru ale punctului material.

Soluţie: În acest caz ecuaţia vectorială de echilibru va fi:

       r2.57

unde reacţiunea nor-mală este dată de:

 r2.58.

Rezultă ecuaţiile de echilibru:

                                 r2.59 ,

care, împreună cu ecuaţia cilindrului,  formează un sistem de trei ecuaţii cu trei necunoscute de unde se obţine imediat:      

                                        ;     r2.60

Înlocuind în ecuaţia elipsei, rezultă:

                                        r2.61

cu poziţia de echilibru dată de coordonatele:

         ;        r2.62

şi:

                         ;        r2.63        

Cele două soluţii corespund punctelor reprezentate pe fig.2.5; în prima poziţie punctul stă în interiorul elipsei iar, în a doua poziţie, punctul stă pe exteriorul elipsei.

Aplicaţie. 2. Să se determine poziţia de echilibru a unui punct material obligat să rămână pe parabola  r2.64 (fig.2.7) dacă asupra punctului acţionează forţa orizontală   r2.65 şi greutatea  r2.66 .

Fig.2.7.

Soluţie:  Normala la curba plană va avea expresia:

                        r2.67

iar rezultanta forţelor aplicate este:

                                            .  r2.68

Condiţia ca produsul vectorial dintre normală şi rezultantă să fie nul duce la sistemul:

                                      r2.69

cu soluţia:

                                        r2.70

2.2.2.3. Echilibrul punctului material pe o curbă netedă

În cazul punctului material obligat să rămână pe o curbă netedă (fără frecare), este necesar ca componenta forţei după direcţia tangentei să fie zero. În caz contrar, punctul material s-ar mişca după tangenta la curbă. Cealaltă componentă, aflată într-un plan perpendicular pe curbă, va fi echilibrată de reacţiunea care apare în legatură, împiedecând punctul material să treacă prin curbă. Deci condiţia necesară şi suficientă pentru ca un punct material să rămână în echilibru pe o curbă este ca rezultanta să se găsească într-un plan perpendicular pe curbă. În cele ce urmează vom determina expresii analitice pentru studiul echilibrului punctului material pe o curbă, fără frecare.

a) Ecuaţia curbei se obţine prin intersecţia a două suprafeţe

Să considerăm o curbă (C) a cărei ecuaţie este determinată de intersecţia a două suprafeţe (S1)  şi  (S2). Presupunem că cele două suprafeţe sunt date sub forma implicită:

                r2.71       (2.35)

Fig.2.8. Echilibrul punctului material pe o curbă netedă

Ecuaţiile de echilibru sunt date de:

                     r2.72       (2.36)

Reacţiunea N se găseşte în planul perpendicular pe curbă. Acest plan este generat de normalele la cele două suprafeţe luate într-un punct al curbei. Dacă notăm cu  r2.73 şi cu  r2.74 normalele la cele două curbe, reacţiunea normală va fi o combinaţie liniară a celor doi vectori, deci va avea forma:        

                                            r2.75                              (2.37)

unde avem:

                               r2.76

                                          r2.77             (2.38)

Ecuaţia vectorială de echilibru, scrisă pe componente, ne va da:

              r2.78               (2.39)

care, împreună cu cele două ecuaţii ale suprafeţelor, formează un sistem de cinci ecuaţii cu cinci necunoscute;  trei, coordonatele poziţiei de echilibru a punctului material iar două, scalarii λ1 şi λ2. În cazul problemei directe, adică a determinării poziţiei de echilibru, valorile λ1 şi λ2 nu interesează şi pot fi eliminate din primele trei ecuaţii, dacă se ţine seama de teoria sistemelor de ecuaţii lineare. În acest caz, primele trei ecuaţii sunt înlocuite cu una singură, reprezentată de determinantul caracteristic al sistemului linear în λ1 şi λ2:

                                             r2.79                      (2.40)

care, împreună cu cele două ecuaţii ale suprafeţelor, formează un sistem de trei ecuaţii cu trei necunoscute.

b) Condiţia ca reacţiunea să fie normală la curbă se poate exprima şi în felul următor: tangenta la curbă şi normala sunt perpendiculare. Deci, produsul lor scalar este nul. Tangenta se poate exprima sub forma:

                                      R2.80                                                           (2.41)

de unde condiţia de ortogonalitate se poate scrie:

                                      R2.81                                                           (2.42)

condiţie echivalentă cu determinatul exprimat anterior.

c) Suprafeţele sunt date sub forma explicită:

                                                        r2.82                       (2.43)

Ele sunt aduse la forma implicită:

                                                       r2.83               (2.44)

iar ecuaţiile de echilibru scrise anterior devin:

                                          r2.84             (2.46)

Dacă se elimină λ1 şi λ2 , care nu interesează, se va obţine:

                                             r2.85                     (2.47)

şi,  împreună cu ecuaţiile celor două suprafeţe, relaţia obţinută formează un sistem de trei ecuaţii cu trei necunoscute care vor oferi poziţiile punctelor de echilibru.

O altă formă, obţinută dacă se consideră ortogonalitatea dintre tangentă şi reacţiunea normală, este dată de:

                                      R2.86                                                            (2.48)

d) Ecuaţia curbei este dată sub forma parametrică

Se dă ecuaţia curbei sub forma parametrică:

                      r2.87            (2.49)

Tangenta la curbă va avea ecuaţia:

                                          r2.88         (2.50)

Fig.2.9. Ortogonalitatea dintre rezultantă şi tangentă

Aceasta trebuie să fie perpendiculară pe rezultanta forţelor, deci produsul lor scalar este   r2..89 sau, dacă se consideră componentele celor doi vectori:

                                      X x'(t) + Y y'(t) + Z z'(t) = 0  r2.90             (2.51)

Din această relaţie se scoate parametrul  t  la echilibru care, înlocuit apoi în ecuaţiile parametrice ale curbei, va da coordonatele poziţiei de echilibru. Acest mod de a rezolva problema este  foarte simplu dar nu întotdeauna se cunosc ecuaţiile parametrice ale curbei.

Dacă se cere forţa necesară a ţine punctul material într-o poziţie de echilibru, atunci ecuaţia scrisă anterior este identic satisfăcută dacă se ia:

                                                    r2.91                        (2.52)

unde λ, μ, ν, sunt trei parametri arbitrar aleşi.

e) Aplicaţie. Un punct material este obligat să rămână pe o elice cilindrică sub acţiunea unei forţe orizontale   r2.92 şi a greutăţii   r2.93. Să se determine punctele de echilibru ale corpului pe curbă.

Soluţie:  Ecuaţia parametrică a elicei cilindrice este:

  r2.94  

de unde rezultă componentele tangentei:  

   r2.95

unde a este raza cilindrului care determină elicea. Condiţia de echilibru:   r2.96  conduce la:

  r2.97

sau:                                        r2.98

de unde:          

 r2.99

iar coordonatele punctelor de echilibru sunt date de relaţiile:

R2.100

2.2.3. Echilibrul punctului material supus la legături reale(cu frecare)

2.2.3.1. Legături cu frecare. Frecare de alunecare. Coeficient de frecare. Con de frecare

         În multe cazuri practice nu se poate neglija influenţa asperităţilor, care determină frecarea între punctul material şi o suprafaţă sau o curbă. În acest caz va apare o forţă de rezistenţă la tendinţa mişcării în direcţia tangenţială a unei curbe sau în planul tangenţial al unei suprafeţe, pe care o vom numi forţă de frecare la alunecare. Forţa de frecare nu poate fi oricât de mare ca în cazul normalei ci, experimental, s-a constatat că are o valoare limită ce depinde de valoarea apăsării normale şi de natura suprafeţelor în contact.

Fig.2.10. Determinarea legilor frecării

Experienţă(Coulomb). Pe un plan orizontal se aşează un corp de greutate G pe care îl asimilăm unui punct material. Acesta este legat printr-un fir inextensibil , care trece peste un scripete foarte mic, care nu are frecări, de un taler pe care se pun greutăţi. Dacă se pun greutăţi, se observă că la început greutăţile puse sunt echilibrate, în mod evident, de forţa de frecare T. Mărindu-se greutăţile care se pun pe taler se constată că la o anumită valoare limită sistemul începe să se mişte, deci legătura este ruptă. Această valoare limită a greutăţilor corespunde valorii maxime a modulului forţei de frecare. Experienţele efectuate cu diferite greutăţi, diferite materiale pentru corpul G a dus la formularea legilor frecării:

Ø    Valoarea forţei maxime de frecare nu depinde de mărimea suprafeţei în contact dintre cele două corpuri iar dacă se produce mişcare, forţa de frecare nu depinde nici de viteza relativă;

Ø    Valoarea forţei maxime de frecare depinde de natura corpurilor aflate în contact

Ø    Valoarea forţei maxime de frecare este proporţională cu modulul reacţiunii normale

             r2.101       (2.53)

în care  r2.102 se numeşte coeficient de frecare la alunecare. Acesta este o mărime adimensională. Coeficientul de frecare se determină experimental, pentru o pereche de suprafeţe aflate în contact şi este o constantă asociată suprafeţelor. El poate varia considerabil pentru două suprafeţe în funcţie şi de alţi factori iar pentru câteva cazuri mai des întâlnite în practică valoarea coeficientului de frecare, determinată experimental, este prezentată mai jos:

·       Lemn pe lemn    0,25-0,50;

·       Metal pe lemn  0,20-0,60;

·       Metal pe metal  0,15-0,30;

·       Metal pe piele  0,30-0,60;

·       Lemn pe piele  0,25-0,50;

·       Piatră pe piată  0,40-0,65;

·       Metal pe piatră 0,30-0,70;

·       Pământ pe pământ 0,25-1,00.

Fig.2.11. Conul de frecare pentru un

plan orizontal

Coeficientul de frecare definit mai sus se numeşte coeficient de frecare statică. Dacă cele două suprafeţe au o mişcare mai îndelungată una faţă de cealaltă atunci frecarea care apare între suprafeţe este definită de coeficientul de frecare dinamic (cinetic). Coeficientul de frecare dinamic este influenţat de mai mulţi factori decât cel static şi, într-o primă aproximaţie, se poate afirma că este mai mic decât el şi nu depinde de viteza relativă a suprafeţelor în contact (Morin, 1831). Experienţele au arătat totuşi că la viteze mari coeficientul de frecare la alunecare scade cu viteza. De asemenea, pentru viteze mici care se apropie de zero, coeficientul de frecare creşte, tinzând continuu către valoarea coeficientului de frecare static. Pentru suprafeţele lubrificate pot apărea şi alţi factori care să influenţeze coeficientul de frecare (spre exemplu temperatura).

         Deci forţa de frecare este tangentă la suprafaţa sau la curba pe care stă punctul material, sensul este în mod contrar tendinţei de mişcare iar mărimea este inferioară mărimii maxime date de legea lui Coulomb (   r2.103). Condiţia de echilibru impus de frecare este exprimată printr-o inegalitate, deci este în general nedeterminată. Nedetrminarea matematică se exprimă în limbajul ingineresc prin afirmaţia că există o zonă geometrică ( o infinitate de puncte) în care corpul este în echilibru. Dacă interesează poziţia de echilibru limită, când inegalitatea se transformă în egalitate, problema devine determinată.

         Con de frecare. Să considerăm un punct material de greutate G obligat să rămână pe o suprafaţă orizontală (fig.2.11) asupra căruia acţionează o forţă orizontală F. Coeficientul de frecare este egal cu μ. Reacţiunea R face un unghi  α  cu normala. Unghiul  α verifică relaţia:

                                                            r2.104                 (2.54)

Fig.2.12. Conul de frecare

Dacă se notează cu  φ unghiul dintre reacţiune şi normala la plan în cazul echilibrului la limită, avem:

   r2.105                       

                             (2.55)

Întrucât la echilibru avem:  r2.106 rezultă:

   r2.107

sau

            r2.108                                   (2.56)

sau

                 r2.109                                                           (2.56’)

Unghiul φ poartă numele de unghi de frecare. Unghiul ascuţit α definit ca unghiul dintre reacţiune şi normala la plan este egal cu unghiul dintre rezultantă şi normală, deoarece rezultanta şi normala sunt doi vectori cu acelaşi suport. În acest caz condiţia de echilibru poate fi formulată sub forma: 

Rezultanta forţelor efectiv aplicate trebuie să facă cu normala un unghi inferior unghiului de frecare.

         Să considerăm în continuare toate dreptele care fac cu normala un unghi φ. Locul geometric al tuturor acestor drepte formează un con numit conul de frecare.

 Deoarece, pentru echilibru, suportul rezultantei trebuie să facă cu normala un unghi mai mic decât unghiul de frecare, rezultă că se poate scrie condiţia de echilibru sub forma:

  r2.110  .

Fig.2.13

Pentru ca un punct material să se găsească în echilibru pe o suprafaţă aspră într-un punct A, este necesar ca rezultanta forţelor efectiv aplicate să se găsească în interiorul conului de frecare din acel punct.

Problemă: Pe un plan înclinat de unghi   se găseşte un punct material de greutate G în echilibru (   r2.111 ,   r2.112 cunoscut).  Să se determine cu ce forţă orizontală F, paralelă cu planul, trebuie acţionat asupra punctului material pentru ca acesta să înceapă să se mişte.

Soluţie: Forţa F şi componenta Gt dau o rezultantă R paralelă cu planul înclinat care tinde să deplaseze punctul în plan. Componenta normală la plan este   r2.113 şi este egală cu reacţiunea normală N. Condiţia de echilibru limită revine la:

 r2.114

sau:

 r2.115

Rezultă:

 r2.116

O aplicaţie a problemei precedente este următorul fapt: este mai uşor să introducem un dop în gâtul unei sticle rotindu-l şi împingându-l în acelaşi timp decât doar împingându-l.

2.2.3.2.Echilibrul punctului material pe o suprafaţă aspră

În cele ce urmează este generalizată concluzia obţinută anterior în cazul unui plan pentru o suprafaţă oarecare. Să considerăm un punct material obligat să rămână pe o suprafaţă aspră (S), deci există frecare între punct şi suprafaţă, coeficientul de frecare fiind μ.   În acest caz componenta tangenţială a forţei rezultante este echilibrată de o forţă de aderenţă Fr atâta timp cât nu depăşeşte o valoare maximă egală cu μN. Dacă φ este unghiul de frecare atunci unghiul α făcut de rezultantă cu normala trebuie să fie inferior unghiului φ. Întrucât nu are importanţă direcţia după care acţionează componenta tangenţială, rezultă că, indiferent în ce direcţie este orientată această componentă, trebuie ca forţa rezultantă să facă un unghi α inferior lui φ. Întrucât φ determină conul de frecare rezultă că pentru obţinerea echilibrului forţa rezultantă trebuie să se găsească în interiorul conului de frecare.

Fig.2.14. Echilibrul punctului material

pe o suprafaţă aspră

         Se poate obţine şi expresia analitică, în coordonate carteziene, a acestei condiţii. Astfel se poate obţine expresia unghiului α cu relaţia:

                                       r2.117                    (2.57)

de unde: 

                                            r2.118                 (2.58)

Dacă se notează forţa rezultantă cu:

                                                  r2.119               (2.59)

normala este dată de relaţia:

                                               r2.120       (2.60)

iar relaţia obţinută poate fi pusă sub forma:

                      (2.61)

    R2.121

Funcţia cosinus este descrescătoare pe intervalul  r2.122 şi atunci condiţia:     r2.123  conduce la:

                       r2.124

Rezultă condiţia de echilibru:

        r2.125   (2.62)

Remarcăm că această condiţie este exprimată printr-o inegalitate, deci nu va exista un singur punct de echilibru ci, în general, o infinitate de puncte de echilibru, situate în jurul punctului de echilibru fără frecare. Există deci o zonă de echilibru, care înconjoară punctul de echilibru fără frecare  sau zone de echilibru care înconjoară punctele de echilibru fără frecare în cazul soluţiei multiple (fig.2.15).

Fig.2.15. Zone de echilibru pe o

suprafaţă aspră

Aplicaţie. Se consideră sfera de rază R şi un punct material obligat să rămână pe această sferă sub acţiunea greutăţii.

Între corp şi sferă există frecare, coeficientul de frecare fiind μ. Să se determine punctele în care corpul rămâne în echilibru.

Soluţie: Sfera:  r2.126 are un vector normal dat de:

  r2.127.

Fig.2.16. Echilibrul cu frecare pe sferă

Avem:

             r2.128       r2.129

În acest caz condiţia de echilibru

 r2.130

devine:

  r2.131

sau: 

  r2.132

de unde rezultă două zone de echilibru şi anume calotele determinate de condiţiile (fig.2.16):

  r2.133

2.2.3.3.Echilibrul punctului material pe o curbă aspră

Să considerăm un punct material obligat să rămână pe o curbă, între punct şi curbă existând frecare, coeficientul de frecare fiind egal cu μ. Ne propunem  să  determinăm poziţiile de echilibru ale punctului material pe curbă. În acest caz, cea mai convenabilă descriere a curbei este sub forma parametrică. Forţa rezultantă R care acţionează asupra punctului are două componente: una într-un plan normal la curbă care este echilibrată de o reacţiune normală (corpul nu poate trece prin curbă) şi cealaltă după direcţie tangenţială. Componenta după direcţie tangenţială este echilibrată de o forţă de frecare atâta timp cât aceasta este inferioară unei forţe limită egală cu μN. Dacă unghiul făcut de rezultantă cu tangenta este α se vede că acesta trebuie să fie superior unghiului de frecare φ:

Fig.2.17. Echilibrul cu frecare pe o curbă

                                            r2.134                                     (2.63)

Rezultă că poziţiile de echilibru sunt acelea în care rezultanta se găseşte în afara conului de frecare. Dacă se notează cu  r2.135 tangenta la curbă, unghiul făcut de rezultantă cu tangenta este dat de:

  r2.136     (2.64)

Inegalitatea scrisă anterior duce la:

            r2.137

sau:

                   r2.138     (2.65)

Din inegalitatea scrisă se determină domeniul de valori pentru parametrul t care verifică inegalitatea, după care se pot determina poziţiile punctului material pe curbă în care există echilibru.

Aplicaţie. Să considerăm punctul material obligat să rămână pe o elice cilindrică sub acţiunea unei forţe orizontale   r2.139 şi a greutăţii  r2.140  din problema anterioară şi să considerăm că între punct şi curbă există frecare, coeficientul de frecare la alunecare fiind μ. Să se determine zonele de echilibru ale corpului pe curbă.

Soluţie:  Avem:

                  r2.141

                                         r2.142

Condiţia:

   r2.143

conduce la:

                      r2.144

sau

                                  r2.145

sau încă:

R2.146

de unde rezultă condiţia de echilibru:

                                                    r2.147

care reprezintă zone aflate în jurul poziţiei de echilibru fără frecare.

PAGINA 6