CAPITOLUL 5c
Semisfera plină. Să considerăm o semisferă de rază egală cu R. Din considerente de simetrie rezultă imediat:
(centrul de masă se va găsi pe axa Oz) . Se alege elementul de volum ca în fig. 5.14, la cota z .
El poate fi asimilat cu un cilindru de rază egală cu şi grosime dz . Centrul de masă va fi determinat cu relaţia:
Fig.5.15.Centrul de greutate al optimii de elipsoid
Optime de elipsoid. Dacă se aleg coordonatele sferice:
ţinând seama de formula Jacobianului în acest caz:
,
integrala triplă se transformă în trei integrale simple, obţinându-se în final:
Con circular drept. Con. Să consideră un con circular drept cu raza cercului de bază R şi cu înălţimea H. Din considerente de simetrie
. Pentru calculul lui se alege un element de volum dV la înălţimea z ca în fig. 5.16 , asimilabil cu un cilidru de rază r şi înălţime dz. Avem, din asemănare:
de unde:
.
Putem calcula acum:
deci centrul de masă se va găsi la o pătrime din înălţimea de bază. Rezultatul rămâne valabil şi dacă conul nu este circular sau drept.
Fig.5.16. Centrul de greutate al conului circular drept
Piramida regulată dreaptă. Piramida. Pentru o piramidă, aplicându-se aceleaşi raţionamente ca în cazul conului se va obţine acelaşi rezultat:
.
Fig.5.17. Centrul de greutate al piramidei
Suprafaţa laterală a unui con. Putem concepe suprafaţa laterală a conului alcătuită din suprafeţe triunghiulare infinitezimale. Pentru un triunghi oarecare centrul de greutate se va găsi la o treime de bază şi două treimi de vârf, deci distantanţa de la acesta până la planul bazei va fi o treime din înălţime. Centrele de greutate ale tuturor triunghiurilor infinitezimale se va găsi într-un plan aflat la distanţa de H/3 de bază deci va rezulta că şi centrul de greutate al întregii suprafaţă se va găsi în acest plan, adică
.
Fig.5.18. Centrul de greutate al suprafeţei laterale a conului
Suprafaţa laterală a unei piramide. Printr-un raţionament similar rezultă
.
5.7. Teoremele lui Pappus-Guldin
Cele două teoreme permit în unele cazuri uşurarea calculului unor centre de greutate (masă). Calculul centrelor de masă presupun calculul unor integrale iar cele două teoreme permit înlocuirea calculului unor integrale cu rezultate deja cunoscute. Să considerăm mai întâi un arc de curbă plană (C) (fig.5.19).
Fig.5.19.Prima teoremă a lui Pappus-Guldin
Teoremă. Aria suprefeţei generată prin rotirea completă a arcului de curbă în jurul unei axe din planul său (pe care nu o intersectează) este egală cu lungimea arcului de curbă înmulţită cu lungimea cercului descris de centrul de greutate al curbei.
Demonstraţie. Elementul de arc ds generează prin rotaţie o suprafaţă care este egală, într-o aproximatie de ordinul întâi, cu produsul dintre lungimea cercului descris de coordonata y şi grosimea suprafeţei ds:
. (5.18)
Întrega suprafaţă va fi obţinută prin însumarea tuturor suprafeţelor elementare dA :
(5.19)
ţinând seama de formulele de definiţie ale centrelor de greutate, se obţine:
(5.20)
unde
este distanţa centrului de greutate la dreapta în jurul căreia se face rotaţia. Rezultă:
(5.21)
Să considerăm acum o suprafaţă plană.
Fig.5.20. A doua teoremă Pappus-Guldin
Teoremă. Volumul generat prin rotirea completă a suprafeţei în jurul unei axe din planul său (pe care nu o intersectează) este egal cu aria suprafeţei respective înmulţită cu lungimea cercului descris de centrul de greutate al suprafeţei.
Demonstraţie. Elementul de arie dA generează prin rotaţie un volum care este egal, într-o aproximatie de ordinul întâi cu produsul dintre lungimea cercului descris de coordonata centrului suprafeţei y şi mărimea suprafeţei ds:
(5.22)
Întregul volum va fi obţinut prin însumarea tuturor volumelor elementare dV :
. (5.23)
Ţinând seama de formulele de definiţie ale centrelor de greutate, se obţine:
(5.24)
unde este distanţa centrului de greutate al suprafeţei la dreapta în jurul căreia se face rotaţia. Rezultă:
(5.25)
Aplicaţie. 1. Dacă se consideră suprafaţa generată prin rotaţia unui semicerc în jurul diametrului (fig.5.21), se va obţine o sferă de suprafaţă
.
Lungimea semicercului este
.
Aplicând prima teoremă se va obţine poziţia centrului de masă pentru linia materială omogenă în formă de semicerc:
Fig.5.21 Fig.5.22
Aplicaţie. 2. Dacă se consideră volumul generat prin rotaţia unei jumătăţi de cerc în jurul diametrului (fig.5.22), se va obţine o sferă de volum
.
Aria jumătăţii de sferă este
.
Aplicând a doua teoremă se va obţine poziţia centrului de masă pentru o jumătate de cerc:
sau:
.
Rezultă:
.
Fig.5.23. Calculul volumului torului
Aplicaţie. 3. Folosind teoremele anterioare se poate calcula cu uşurinţă suprafaţa laterală şi volumul torului (fig.5.23), (corpul obţinut prin rotaţia unui disc în jurul unei axe din planul său).
Dacă se notează cu R raza discului iar cu a distanţa dintre centrul acestuia şi axa în jurul căreia se va face rotaţia, aplicând prima teoremă se obţine:
sau:
.
Aplicând cea de-a doua teoremă, se va obţine:
deci
.