Capitolul 7a
Capitolul 7
STATICA SISTEMELOR DE SOLIDE
7.1. Echilibrul sistemelor de solide
7.1.1. Sisteme de solide
Prin sistem de solide se înţelege un ansamblu de solide, aflate în legătură, sau interacţiune, unele cu altele. Se pot grupa forţele care acţionează asupra unui sistem de solide în felul următor: forţe exterioare, care constituie acţiuni ale altor corpuri, din exteriorul sistemului, asupra sistemului dat şi forţe interioare care pot fi grupate şi ele, la rândul lor, în forţe de acţiune de la distanţă şi forţe de legătură (inter-acţiune prin contact direct). Forţele de legătură sunt forţe de legătură exterioare, care provin din interacţiunea prin contact direct a sistemului cu alte sisteme şi forţe de legătură interioare, care reprezintă interacţiuni directe ale corpurilor care
compun sistemul.
Fig.7.1
Conform principiului acţiunii şi reacţiunii forţele interioare (de acţiune la distanţă şi de legătură interioare) sunt egale şi de sens contrar, deci se anulează două câte două. Pentru studiul sistemelor de solide se utilizează trei metode, care vor fi prezentate în cele ce urmează.
7.1.2. Metoda izolării corpurilor
Teorema izolării: Un sistem de solide se află în echilibru dacă şi numai dacă fiecare corp componentă a sa este în echilibru.
Pe baza acestei teoreme se poate formula regula de studiu a echilibrului unui sistem de solide. Astfel se izolează fiecare corp din sistem, introducând forţele exterioare şi forţele de legătură, interioare şi exterioare. După aceea se scriu ecuaţiile de echilibru pentru fiecare corp în parte. Pentru un sistem alcătuit din n solide rezultă un sistem de 6n ecuaţii în cazul general şi un sistem de 3n ecuaţii în cazul unei probleme plane.
Pentru un astfel de sistem se pot considera cele două cazuri clasice ale mecanicii: problema directă, când se cunosc forţele exterioare şi se cere să se determine poziţia de echilibru a sistemului şi problema inversă, când se cunosc poziţiile de echilibru şi se cere să se determine forţele care menţin sistemul în acea poziţie.
7.1.3. Metoda solidificării
Teorema solidificării: Condiţia necesară ca un sistem de corpuri să fie în echilibru este ca torsorul forţelor exterioare (date şi de legătură) să fie egal cu zero.
Cu alte cuvinte, dacă un sistem este în echilibru, corpul format prin legarea rigidă a tuturor componentelor trebuie să fie în echilibru.
7.1.4. Metoda echilibrului părţilor
Fig.7.2
Teorema echilibrului părţilor: dacă un sistem de solide este în echilibru sub acţiunea forţelor exterioare date şi de legătură atunci orice parte a sistemului va fi în echilibru sub acţiunea forţelor care acţionează asupra acestei părţi (fig.7.2).
Fig.7.3.a
Exemplu: 1. Se consideră două sfere de rază egală cu r dar fabricate din materiale diferite (fig.7.3.a), unul având greutatea G1 iar celălalt greutatea G2 , mai mică. Să se determine poziţia de echilibru a acestor două sfere dacă se introduc într-o cavitate sferică de rază R.
a) dacă se aplică metoda izolării corpurilor, ecuaţiile de echilibru pentru cele două sfere vor fi:
Sfera de greutate G1 :
(i)
(ii)
Sfera de greutate G2 :
(iii)
(iv)
Din (i) rezultă:
şi introducând în (ii) se obţine:
sau:
(v)
Din (iii) rezultă:
şi introducând în (iv) se obţine:
sau:
(vi)
Relaţiile (v) şi (vi) ne dau:
(vii)
Rezultă, prin dezvoltarea funcţiei cosinus, ecuaţia trigonometrică:
cu soluţia:
(viii)
b) dacă se aplică metoda solidificării, cele două corpuri sunt considerate ca alcătuind un singur corp şi, scriindu-se ecuaţiile de echilibru pentru acesta (ecuaţia de momente în punctul O), se obţine:
Fig.7.3.b
sau:
