CAPITOLUL 4d
4.7. Axa centrală a unui sistem de forţe
Teorema momentului ne arată că momentul se modifică în funcţie de punctul în care se calculează. Să ne punem următoarea problemă: pentru care puncte din spaţiu valoarea momentului este minimă.
4.14. Descompunerea momentelor
Am făcut observaţia că proiecţia momentului pe direcţia rezultantei este o constantă. Rezultă că în orice punct din spaţiu vectorul moment va conţine două componente:
Ø una după direcţia rezultantei, aceeaşi în orice punct din spaţiu;
Ø a doua, variabilă, perpendiculară pe ea(fig.4.14).
Să notăm aceste componente cu
şi . Valoarea momentului într-un punct P arbitrar ales din spaţiu este:
(4.46)
Momentul va fi minim în punctul în care
va fi minim, deci când este egal cu zero, adică are doar componentă după direcţia rezultantei. Deci momentul minim, dacă există, va fi de forma
(4.47)
Dacă aplicăm teorema momentului pentru calculul momentului minim rezultant în P se obţine:
(4.48)
unde s-a utilizat relaţia:
Dacă se înmulţeste relaţia scrisă, scalar, la stânga, cu
se obţine:
, (4.49)
întrucât produsul mixt este nul. Rezultă valoarea scalarului
:
(4.50)
Se va putea calcula vectorul moment minim:
(4.51)
şi valoarea lui:
(4.52)
Pentru a determina mulţimea punctelor pentru care momentul ia valoare minimă vom rezolva ecuaţia vectorială:
(4.53)
care scrisă pe componente ia forma:
(4.54)
sau:
(4.55)
Determinantul sistemului este nul:
(4.56)
iar rangul este doi. În acest caz, dacă se consideră primele două ecuaţii drept ecuaţii principale, determinantul caracteristic va fi:
(4.57)
Deci sistemul este compatibil nedeterminat. Geometric, primele două ecuaţii reprezintă plane a căror intersecţie este o dreaptă pe care momentul va lua valoarea minimă. Planul reprezentat de cea de-a treia ecuaţie conţine dreapta de intersecţie a primelor două.
Dreapta respectivă poartă numele de axă centrală a sistemului de forţe. Din considerente de simetrie se utilizează pentru ecuaţia axei centrale forma:
(4.58)
dacă componentele rezultantei nu sunt nule. Această formă nu este foarte convenabilă în aplicaţii.
Pentru determinarea axei centrale se poate utiliza şi metoda vectorială de rezolvare. Ecuaţia:
, (4.59)
o înmulţim vectorial, la stânga, cu
. Se obţine:
, (4.60)
Fig.4.15. Axa centrală a unui sistem
de forţe
de unde, ţinând seama de regula de dezvoltare a produsului vectorial, se obţine:
Rezultă:
. (4.61)
Alegem raportul
arbitrar şi atunci forma vec-torială a axei centrale va fi:
. (4.62)
Cu notaţia:
(4.63)
se obţine ecuaţia axei centrale sub forma:
(4.64)
adică o dreaptă paralelă cu rezultanta ce trece prin punctul care are vectorul de poziţie
. Se poate arăta că
reprezintă distanţa de la originea sistemului de coordonate la axa centrală.
În concluzie axa centrală a unui sistem de forţe este o dreaptă paralelă cu rezultanta. În toate punctele de pe această dreaptă sistemul de forţe se reduce la o rezultantă şi un moment minim, colinear cu rezultanta. În toate celelalte puncte ale spaţiului momentul se va mări, la vectorul moment minim adăugându-se o componentă perpendiculară, care va creşte cu depărtarea faţă de axa centrală a punctului în care îl calculăm.