2b

2.2.2.2. Echilibrul punctului material pe o suprafaţă netedă

Să considerăm un punct material obligat să rămână pe o suprafaţă, fără frecare. În general, rezultanta forţelor care vor acţiona asupra punctului material, poate fi descompusă după două direcţii, una normală la suprafaţă şi una în planul tangent la suprafaţă. Componenta normală va fi echilibrată de o forţă de reacţiune, care împiedică punctul să treacă prin suprafaţă. Componenta aflată în planul tangent va provoca o mişcare a punctului în acest plan. Pentru ca punctul material să nu se mişte este necesar ca această componentă a forţei să nu existe. Deci, punctul material va rămâne în echilibru pe o suprafaţă în punctele în care rezultanta forţelor aplicate acţionează după direcţia normalei (normala are aceeaşi direcţie cu rezultanta).

Valoarea reacţiunii normale este egală cu rezultanta forţelor aplicate, are aceeaşi direcţie cu ea şi sens contrar. Să studiem analitic problema echilibrului punctului material pe o suprafaţă. Se presupune cunoscută rezultanta forţelor care acţionează asupra punctului material şi dorim să aflăm poziţiile de echilibru (problema directă). În acest caz, pentru a rezolva problema, este necesar de a determina punctele de pe suprafaţă în care normala are aceeaşi direcţie cu rezultanta.

a. Ecuaţia suprafeţei este dată sub forma implicită

Să presupunem că ecuaţia suprafeţei este data sub forma implicită:

(2.9)

Un vector normal la suprafaţă este dat de:

(2.10)

Reacţiunea normală la suprafaţă va avea direcţia normalei:

(2.11)

Dacă rezultanta forţelor aplicate asupra punctului material este:

(2.12)

ecuaţiile de echilibru, prin înlocuirea legăturii cu forţa de reacţiune, vor fi date de relaţia:

(2.13)

sau, dacă scriem pe componente:

(2.14)

care împreună cu ecuaţia suprafeţei, formează un sistem algebric de patru ecuaţii cu patru necunoscute, trei fiind coordonatele poziţiei de echilibru a punctului material x, y, z iar a patra scalarul care determină valoarea lui N. Scalarul poate fi determinat cu uşurinţă:

(2.15)

însă nu prezintă importanţă în practică.

Reacţiunea N se calculează uşor fiind egală, având aceeaşi direcţie şi sens contrar cu rezultanta forţelor aplicate:

(2.16)

iar componentele ei după axe vor fi egale şi de semn contrar cu componentele lui

. Eliminându-se care, în general, nu poate fi zero întrucât ne aflăm în prezenţa unei forţe, se obţine:

Fig.2.4. Echilibrul punctului material pe o suprafaţă netedă

(2.17)

care, împreună cu ecuaţia suprafeţei, formează un sistem algebric de trei ecuaţii cu trei necunoscute. Ultimele ecuaţii au sens, în ipoteza în care componentele rezultantei sunt nenule. Dacă una dintre componentele forţei se anulează, spre exemplu

, atunci trebuie să avem

. (2.18)

Sistemul poate avea soluţie (unică sau multiplă), adică există poziţii de echilibru, poate fi nedeterminat (adică există o infinitate de puncte de echilibru) sau imposibil (nu există nici o poziţie de echilibru).

Dacă se impune poziţia de echilibru şi se cere determinarea forţei care să menţină punctul în acea poziţie (problema inversă) se obţine, în general, o problemă static nedeterminată. Impunând condiţii suplimentare se poate obţine şi în acest caz o soluţie determinată.

Fig.2.5. Echilibrul pe o curbă plană

Condiţia de echilibru se poate pune şi sub forma:

(2.19)

(forţa rezultantă şi normala sunt colineare) sau

(2.20)

de unde:

; ; . (2.21)

Cele trei relaţii nu sunt independente,întrucât dacă înmulţim prima relaţie cu

, a doua cu şi a treia cu şi le adunăm, obţinem identitate. Atunci, dacă considerăm două dintre ecuaţiile scrise (care sunt independente), împreună cu ecuaţia suprafeţei, va rezulta un sistem de trei ecuaţii cu trei necunoscute care vor da poziţiile de echilibru. Se observă cu uşurinţă că din cele trei ecuaţii se pot obţine condiţiile de echilibru determinate anterior (2.17). Acest mod de prezentare oferă avantajul de a nu introduce constanta artificială λ.

b. Caz particular. Dacă se consideră o curbă plană şi un punct material obligat să rămână pe acestă curbă, sub acţiunea unor forţe care acţionează în acelaşi plan, rezultatele se obţin ca un caz particular al problemei prezentate. Astfel avem:

(2.22)

(2.23)

iar ecuaţiile de echilibru se scriu:

(2.24)

sau:

(2.25)

care, împreună cu ecuaţia curbei plane, formează un sistem de două ecuaţii cu două necunoscute care oferă punctele de echilibru.

Dacă se pune condiţia ca produsul vectorial dintre rezultantă şi normală să fie zero se obţin aceeaşi relaţie.

c. Ecuaţia suprafeţei este dată sub forma explicită

Să presupunem că ecuaţia suprafeţei este dată sub forma explicită:

. (2.26)

Ea poate fi adusă la forma implicită:

(2.26’)

iar ecuaţiile scrise anterior vor suferi o uşoară modificare:

(2.27)

sau, în cazul în care se elimină λ, care poate fi calculat cu formula:

(2.28)

se obţine:

(2.29)

concluziile şi discuţia rămânând aceleaşi ca în cazul precedent.

d. Ecuaţia suprafeţei este dată sub formă parametrică

Să presupunem că ecuaţia suprafeţei este dată sub forma parametrică:

(2.30)

unde u şi v sunt parametri. În acest caz, normala la suprafaţă are expresia:

(2.31)

iar ecuaţiile de echilibru, iau forma, după operaţii elementare:

(2.32)

Rezolvarea acestui sistem conduce la aflarea valorilor u, v şi λ. Prin eliminarea lui λ se vor obţine ecuatiile:

(2.33)

Fig.2.6

care oferă valorile parametrilor u şi v pentru poziţia de echilibru.

Dacă se utilizează condiţia ca produsul vectorial să fie nul, vom alege două din relaţiile:

(2.34)

Două dintre aceste ecuaţii, împreună cu ecuaţia suprafeţei, oferă cele trei ecuaţii necesare pentru determinarea punctelor de echilibru.

Aplicaţii. 1. Să considerăm un punct material obligat să stea în echilibru pe cilindrul eliptic orizontal

sub acţiunea greutăţii

şi a unei forţe orizontale . Se cer punctele de echilibru ale punctului material.

Soluţie: În acest caz ecuaţia vectorială de echilibru va fi:

unde reacţiunea normală este dată de:

Rezultă ecuaţiile de echilibru:

,

care, împreună cu ecuaţia cilindrului, formează un sistem de trei ecuaţii cu trei necunoscute de unde se obţine imediat:

; .

Înlocuind în ecuaţia elipsei, rezultă:

cu poziţia de echilibru dată de coordonatele:

;

şi:

; .

Cele două soluţii corespund punctelor reprezentate pe fig.2.5; în prima poziţie punctul stă în interiorul elipsei iar, în a doua poziţie, punctul stă pe exteriorul elipsei.

Aplicaţie. 2. Să se determine poziţia de echilibru a unui punct material obligat să rămână pe parabola