2d
Problemă: Pe un plan înclinat de unghi se găseşte un punct material de greutate G în echilibru (
, φ cunoscut). Să se determine cu ce forţă orizontală F, paralelă cu planul, trebuie acţionat asupra punctului material pentru ca acesta să înceapă să se mişte.
Soluţie: Forţa F şi componenta Gt dau o rezultantă R paralelă cu planul înclinat care tinde să deplaseze punctul în plan. Componenta normală la plan este
şi este egală cu reacţiunea normală N. Condiţia de echilibru limită revine la:
sau:
.
Rezultă:
.
O aplicaţie a problemei precedente este următorul fapt: este mai uşor să introducem un dop în gâtul unei sticle rotindu-l şi împingându-l în acelaşi timp decât doar împingându-l.
2.2.3.2.Echilibrul punctului material pe o suprafaţă aspră
În cele ce urmează este generalizată concluzia obţinută anterior în cazul unui plan pentru o suprafaţă oarecare. Să considerăm un punct material obligat să rămână pe o suprafaţă aspră (S), deci există frecare între punct şi suprafaţă, coeficientul de frecare fiind μ. În acest caz componenta tangenţială a forţei rezultante este echilibrată de o forţă de aderenţă Fr atâta timp cât nu depăşeşte o valoare maximă egală cu μN. Dacă φ este unghiul de frecare atunci unghiul α făcut de rezultantă cu normala trebuie să fie inferior unghiului φ. Întrucât nu are importanţă direcţia după care acţionează componenta tangenţială, rezultă că, indiferent în ce direcţie este orientată această componentă, trebuie ca forţa rezultantă să facă un unghi α inferior lui φ. Întrucât φ determină conul de frecare rezultă că pentru obţinerea echilibrului forţa rezultantă trebuie să se găsească în interiorul conului de frecare.
Fig.2.14. Echilibrul punctului material
pe o suprafaţă aspră
Se poate obţine şi expresia analitică, în coordonate carteziene, a acestei condiţii. Astfel se poate obţine expresia unghiului α cu relaţia:
(2.57)
de unde:
(2.58)
Dacă se notează forţa rezultantă cu:
(2.59)
normala este dată de relaţia:
(2.60)
iar relaţia obţinută poate fi pusă sub forma:
(2.61)
Funcţia cosinus este descrescătoare pe intervalul
şi atunci condiţia:
conduce la:
Rezultă condiţia de echilibru:
(2.62)
Remarcăm că această condiţie este exprimată printr-o inegalitate, deci nu va exista un singur punct de echilibru ci, în general, o infinitate de puncte de echilibru, situate în jurul punctului de echilibru fără frecare. Există deci o zonă de echilibru, care înconjoară punctul de echilibru fără frecare sau zone de echilibru care înconjoară punctele de echilibru fără frecare în cazul soluţiei multiple (fig.2.15).
Fig.2.15. Zone de echilibru pe o suprafaţă aspră
Aplicaţie. Se consideră sfera de rază R şi un punct material obligat să rămână pe această sferă sub acţiunea greutăţii.
Între corp şi sferă există frecare, coeficientul de frecare fiind μ. Să se determine punctele în care corpul rămâne în echilibru.
Soluţie: Sfera:
are un vector normal dat de:
.
Fig.2.16. Echilibrul cu frecare pe sferă
Avem:
.
În acest caz condiţia de echilibru
devine:
sau:
de unde rezultă două zone de echilibru şi anume calotele determinate de condiţiile (fig.2.16):
2.2.3.3.Echilibrul punctului material pe o curbă aspră
Să considerăm un punct material obligat să rămână pe o curbă, între punct şi curbă existând frecare, coeficientul de frecare fiind egal cu μ. Ne propunem să determinăm poziţiile de echilibru ale punctului material pe curbă. În acest caz, cea mai convenabilă descriere a curbei este sub forma parametrică. Forţa rezultantă R care acţionează asupra punctului are două componente: una într-un plan normal la curbă care este echilibrată de o reacţiune normală (corpul nu poate trece prin curbă) şi cealaltă după direcţie tangenţială. Componenta după direcţie tangenţială este echilibrată de o forţă de frecare atâta timp cât aceasta este inferioară unei forţe limită egală cu μN. Dacă unghiul făcut de rezultantă cu tangenta este α se vede că acesta trebuie să fie superior unghiului de frecare φ:
Fig.2.17. Echilibrul cu frecare pe o curbă
. (2.63)
Rezultă că poziţiile de echilibru sunt acelea în care rezultanta se găseşte în afara conului de frecare. Dacă se notează cu
tangenta la curbă, unghiul făcut de rezultantă cu tangenta este dat de:
(2.64)
Inegalitatea scrisă anterior duce la:
sau:
. (2.65)
Din inegalitatea scrisă se determină domeniul de valori pentru parametrul t care verifică inegalitatea, după care se pot determina poziţiile punctului material pe curbă în care există echilibru.
Aplicaţie. Să considerăm punctul material obligat să rămână pe o elice cilindrică sub acţiunea unei forţe orizontale
şi a greutăţii din problema anterioară şi să considerăm că între punct şi curbă există frecare, coeficientul de frecare la alunecare fiind μ. Să se determine zonele de echilibru ale corpului pe curbă.
Soluţie: Avem:
Condiţia:
Conduce la:
sau
sau încă:
de unde rezultă condiţia de echilibru:
care reprezintă zone aflate în jurul poziţiei de echilibru fără frecare.
