6h
6.3.4. Frecarea de pivotare
Frecarea de pivotare. Pivotul nou. Să considerăm o macara schematizată ca în fig. 6.29.a. În punctul A există un lagăr radial-axial iar în B un lagăr radial. În fig. 6.29.b este prezentat lagărul axial-radial. Toată greutatea macaralei şi a sarcinii ridicate apasă asupra lagărului determinând o presiune p pe care, în primă aproximaţie, o considerăm constantă. Deoarece, în ciuda ungerii care se face unui lagăr, există frecare, coeficientul de frecare fiind μ , la rotirea macarelei în jurul axei va apare o rezistenţă datorată momentului frecărilor care apar între axul macaralei şi lagăr. Acest moment reprezintă momentul de pivotare, iar la rotaţia macaralei el va avea valoarea limită precizată anterior. Dacă se cunosc dimensiunile lagărului (raza R), greutatea macaralei şi a sarcinii Q, coeficientul de frecare μ , acest moment de pivotare poate fi calculat.
Fig.6.29
Fig.6.30
Astfel, dacă se consideră o suprafaţă infinitezimală dS cu simetrie circulară, forţa de apăsare dN care se exercită asupra acestei suprafeţe va fi:
(6.16)
Datorită acestei apăsări, la rotaţia pivotului în jurul axei, vor apărea forţe de frecare distribuite în sens contrar direcţiei de mişcare, deci tangente unui cerc concentric cu secţiunea prin pivot. Mărimea acestor forţe infinitezimale va fi:
(6.17)
Aceste frecări vor determina apariţia unui moment infinitezimal dMf, care se va opune mişcării:
(6.18)
Momentul de pivotare se obţine prin însumarea tuturor acestor momente:
(6.19)
Dacă se consideră că momentul de pivotare este proporţional cu forţa de apăsare normală, se poate obţine raza de pivotare rP care este dată de:
(6.20)
deci:
. (6.21)
Fig.6.31
În realitate, din cauza jocurilor care există în lagăr, are loc o uzură a acestuia care face ca distribuţia presiunilor să nu mai fie uniformă (fig.6.31). Deoarece suprafaţele aflate în contact se reduc şi, concomitent, apăsarea nu mai este uniformă, va rezulta că presiunea va creşte mult în acest caz putând duce la distrugerea pivotului (prin strivirea lui). În acest caz, prin înlăturarea centrului pivotului prin prelucrare mecanică (fig.6.31), se uniformizează presiunile dintre suprafeţele în contact şi se evită fenomenul distrugerii. În acest caz vor creşte presiunile şi momentul de pivotare. Calculul se face în mod analog ca la cazul precedent, cu diferenţa că limitele de integrare vor fi între R1 şi R2 iar presiunea de apăsare:
. (6.22)
Momentul de pivotare va fi atunci:
(6.23)
iar raza de pivotare:
(6.24)
Pivotul uzat. În cazul în care pivotul se uzează, distribuţia presiunilor nu mai este uniformă (fig.6.32).
Fig.6.32
Să încercăm în acest caz să determinăm momentul de pivotare, dacă se presupune că distribuţia presiunilor urmează o lege de forma:
(6.25)
Constanta α se determină din condiţia ca suma presiunilor să fie egală cu forţa de apăsare normală Q:
de unde:
.
În acest caz avem:
(6.26)
Frecarea care acţionează asupra suprafeţei dS este:
(6.27)
iar momentul forţelor de frecare dMf :
. (6.28)
Momentul de pivotare se obţine prin însumare:
(6.29)
iar raza de pivotare va fi:
(6.30)
Aplicaţie. Să se determine momentul de pivotare pentru un pivot conic (fig. 6.33).
Echilibrul pivotului după axa verticală duce la relaţia:
.
Presiunea care se exercită asupra suprafetei de contact a pivotului este:
Suprafaţa unui inel infinitezimal de formă tronconică este:
iar forţa de apăsare normală dN pe acest inel este:
.
Fig.6.33. Pivot conic
Forţa de frecare dFf care apare pe acest inel infinitezimal la rotirea pivotului este:
iar momentul la răsucire produs de această forţă:
Momentul de pivotare se obţine prin însumarea tuturor momenteleor infiunitezimale, deci:
cu raza de pivotare:
.
6.3.5. Frecarea firelor
Frecarea firelor reprezintă un caz important în practică prin aplicaţiile sale. Acest tip de frecare apare atunci când firul alunecă peste o roată fixă, sau roata se roteşte iar firul rămâne fix. Frecarea care apare este foarte mare iar dacă unghiul la centru a porţiunii peste care se înfăşoară firul este mare, poate duce chiar la frânarea elementului în mişcare (fir sau roată).
a. b.
Fig.6.34
În cele ce urmează ne propunem să determinăm această frecare. Cu o forţă P tragem de fir înfăşurat peste o roată fixă, unghiul la centru corespunzător porţiunii înfăşurate fiind α. Forţa care poate fi obţinută la celălalt capăt al firului este Q < P. Coeficientul de frecare între fir şi roata fixă este μ. Ne propunem să determinăm forţa necesară P pentru a putea echilibra forţa cunoscută Q. Pentru aceasta să considerăm o porţiune infinitezimală din fir, înfăşurată pe exteriorul roţii, care corespunde unghiului la centru dφ. Pentru a putea echilibra forţa T din dreapta porţiunii de fir trebuie să tragem cu o forţă T+dT care să învingă şi frecarea care apare între fir şi roata fixă. Scriind ecuaţiile de echilibru pentru porţiunea de fir considerată, se obţine:
sau:
Unghiul fiind foarte mic se poate face aproximaţia
iar infiniţii mici de ordinul doi pot fi neglijaţi
.
Ecuaţiile de echilibru limită devin:
de unde rezultă:
sau:
Integrând ecuaţia se obţine:
sau:
rezultând legătura dintre P şi Q:
Formula poartă numele de formula lui Euler pentru frecarea firelor. Relaţia obţinută arată o creşterea foarte puternică a forţei P funcţie de unghiul de înfăşurare. Acest lucru permite realizarea unei aplicaţii foarte importante şi anume frâna cu bandă.
Fig.6.35. Fixarea bărcilor la chei
Dacă firul este înfăşurat de n ori pe cilindru raportul dintre forţele T1 şi T2 este
Dacă alegem pentru coeficientul de frecare valoarea 0,2:
rezultă T1.
În tabelul 6.1 este prezentat acest raport pentru diferite înfăşurări:
Tabelul 6.1
În fig.6.36 este prezentată priponirea cailor care se face pe baza aceluiaşi principiu. Greutatea frânghiei este suficientă pentru a ţine calul dacă firul este înfăşurat de câteva ori în jurul priponului.
