CAPITOLUL 4a

REDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE

4.0. Consideraţii generale

În cazul unui punct material regula paralelogramului permite înlocuirea oricărui sistem de forţe care acţionează asupra unui punct material cu o forţă unică, egală cu suma vectorială a tuturor forţelor. Efectul mecanic al forţei rezultante este acelaşi cu cel al acţiunii tuturor forţelor. Rezultă de aici că atunci când avem de-a face cu un sistem de forţe care acţionează asupra unui punct material, nu ne interesează forţele care compun sistemul (numărul, mărimea sau direcţia lor) ci doar rezultanta.

În cazul unui rigid, pe baza unui principiu care se traduce prin expresia „forţa este un vector alunecător”, vom vedea că în cazul unui sistem de forţe este suficient să cunoaştem numai rezultanta şi momentul rezultant al unui sistem de forţe pentru a cunoaşte comportarea mecanică a rigidului. Orice sistem de forţe va fi redus într-un punct la o rezultantă şi un moment rezultant care vor caracteriza complet starea mecanică a unui rigid. Acesta este motivul pentru care cunoaşterea acestor mărimi şi evidenţierea unor proprietăţi ale lor sunt tratate pe larg în orice curs de mecanică.

Fig.4.1

4.1. Forţa este un vector alunecător

Noţiunea de forţă ca vector alunecător apare ca urmare a studiului acţiunii unei forţe asupra unui solid. Calitatea unei forţe de a fi reprezentată printr-un vector alunecător este extrem de importantă în mecanică şi reprezintă rezultatul experienţei. În cele ce urmează ne vom limita studiul asupra efectului forţei asupra unui rigid, o primă aproximaţie în general valabilă pentru orice solid. Să considerăm deci un corp (rigid) asupra căruia acţionează o forţă F (fig.4.1). Dacă acum mutăm forţa printr-o translaţie de-a lungul dreptei definită de forţă, se va constata că efectul mecanic rămâne acelaşi. Dacă tragem sau împingem un corp cu aceeaşi forţă în aceeiaşi direcţie, corpul se va mişca la fel.

Se numeşte suportul forţei drepta definită de direcţia forţei şi care conţine forţa. Deci ne vom exprima spunând că forţa poate luneca pe suportul ei fără ca efectul mecanic asupra corpului să se schimbe.

4.2. Rezultanta unui sistem de forţe

Să considerăm un sistem (S) de forţe

(fig.4.2) acţionând asupra unui corp. Suma tuturor acestor forţe va da rezultanta sistemului de forţe(cap.2), care în reprezentare algebrică, se obţine cu relaţia:

(4.1)

Fig.4.2. Sistem de forţe

cu componentele:

(4.2)

; ;

În scriere matriceală avem:

(4.3)

.

Dacă se consideră reprezentarea geometrică, valoarea rezultantei este dată de relaţia (teorema lui Pitagora generalizată):

iar în reprezentarea algebrică rezultanta poate fi obţinută din:

(4.4)

4.2.Momentul forţei

4.2.1. Momentul forţei faţă de un punct

În capitolul anterior am văzut că în analiza unui sistem de puncte materiale, apre produsul vectorial dintre vectorul de poziţie al punctului de aplicaţie al unei forţe şi forţă. În cele ce urmează vom detalia cunoştiinţele legate de această mărime.

Forţa fiind un vector alunecător, nu poate fi caracterizată numai prin componentele ei (trei componente scalare) ci trebuie introduse şi date despre suportul forţei. O cale de a face acest lucru este de a se introduce noţiunea de moment a forţei.

Fig.4.3. Momentul forţei faţă de un punct

Să considerăm o forţă

aflată pe suportul ei . Se numeşte momentul forţei faţă de un punct O produsul vectorial:

(4.5)

unde A este punctul de aplicaţie al forţei. Vom scrie pe scurt:

(4.6)

.

Din felul în care a fost definit momentul rezultă că este un vector perpendicular pe forţă şi pe vectorul de poziţie al punctului de aplicaţie al forţei. Punctul O se numeşte originea sau polul momentului. Reprezentarea grafică a vectorului moment se face ţinând seama de modul de definire a unui produs vectorial. El va fi perpendicular pe planul determinat de pol şi suportul forţei (fig4.3.). Deci momentul unei forţe faţă de un punct este un vector, de valoare egală cu

şi având direcţie şi sens date de regula burghiului drept. Ţinând seama că distanţa de la pol la suportul dreptei este

rezultă că valoarea momentului este egală cu produsul dintre forţă şi distanţa de la pol la suportul forţei (numită braţul forţei):

(4.7)

Fig.4.4. Reprezentări ale vectorului moment

Momentul provenind dintr-un produs vectorial, valoarea lui va reprezenta aria paralelogramului construit pe cei doi vectori. Momentul unei forţe este un vector legat adică depinde de punctul în care este calculat şi se va schimba, dacă schimbăm punctul în care va fi calculat. În figura 4.4 sunt înfăţişate câteva forme de reprezentare a momentului unui vector.

Momentul forţei faţă de un punct este egal cu zero atunci când punctul (polul) se găseşte pe suportul forţei (lăsând la o parte cazul neinteresant când forţa este egală cu zero).

O scriere mnemonică pentru momentul forţei (dar incorectă din punct de vedere matematic) ar fi următoarea:

(4.8)

Componentele vectorului moment sunt:

(4.9)

Sub formă matriceală reprezentăm momentul cu ajutorul operatorului produs vectorial:

(4.10)

Aplicaţie: Se dă o forţă F de valoare

care acţionează într-un punct B al unui corp de forma din fig.4.5, de-a lungul dreptei BE. Se cere să se calculeze momentul acestei forţe în punctele C şi O.

Fig.4.5

Soluţie: Momentul forţei F în punctul C este dat de relaţia:

.

Expresia vectorială a forţei F este dată de:

= ,

unde

este versorul vectorului BE care indică direcţia şi sensul forţei. Atunci:

.

Avem şi:

4.2.2. Modificarea momentului la schimbarea polului

Presupunem că ştim momentul unei forţe calculat în polul O. Vrem acum să determinăm momentul aceleiaşi forţe în raport cu polul P (fig.4.6). Avem relaţia:

(4.11)

(4.12)

Fig.4.6. Schimbarea momentului la schimbarea polului

Relaţia, generalizată pentru un sistem de forţe, va purta numele de Teorema momentului (vezi 4.5).

Din relaţia scrisă anterior se observă că momentul va rămâne nemodificat la schimbarea polului atunci când acesta se mişcă pe o dreaptă paralelă cu suportul forţei (

).

4.2.3.Alunecarea unei forţe pe suportul ei

Să vedem cum se modifică momentul dacă vom translata forţa pe suportul ei. Avem relaţia (fig.4.7):

Fig.4.7. Translaţia forţei pe suportul ei

(4.13)

întrucât

= 0 . Rezultă că momentul unei forţe în raport cu un punct nu se modifică dacă translatăm forţa pe suportul ei (forţa este un vector alunecător).

Continuare Capitolul 4