CAPITOLUL 4f
4.10. Teorema lui Varignon
Să considerăm un sistem de forţe care se reduce într-un punct la un torsor astfel încât rezultanta este perpendiculară pe momentul rezultant. Să notăm cu O punctul respectiv. Vom avea deci relaţia:
. În acest caz momentul minim, calculat într-un punct de pe axa centrală S este:
.
Fig.4.19. Teorema lui Varignon
Dacă vom aplica teorema momentului pentru a calcula momentul rezultant într-un punct P se va obţine:
(4.65)
adică putem spune că momentul rezultant este egal cu momentul rezultantei, aplicată într-un punct de pe axa centrală (enunţ care poartă numele de teorema lui Varignon).
4.11. Sisteme de forţe echivalente. Operaţii elementare de echivalenţă
Dacă două sisteme de forţe care acţionează asupra aceluiaşi rigid produc acelaşi efect mecanic, se zice că ele sunt echivalente. Pentru realizarea unui sistem de forţe echivalente (în general cât mai simple) se pot aplica o serie de operaţii, numite operaţii elementare de echivalenţă. Ele sunt:
Ø o forţă care actionează asupra rigidului poate fi deplasată pe suportul ei;
Ø în sistemul de forţe se pot introduce sau suprima două forţe egale şi de sens opus cu acelaşi suport (direct opuse);
Ø mai multe forţe concurente pot fi înlocuite prin rezultanta lor, sau o forţă poate fi înlocuită prin componentele sale.
4.12. Sisteme particulare de forţe
4.12.1.Sisteme de forţe concurente
Să considerăm un sistem de forţe ale căror suporţi
sunt concurenţi. Notăm cu V punctul de concurenţă (fig.4.19). Momentul fiecărei forţe în punctul V este egal cu zero, deci şi momentul rezultant în acest punct este zero. Momentul minimal în V este deci zero, de unde rezultă că acesta aparţine axei centrale.
Fig.4.20. Sisteme de forţeconcurente
Momentul în punctul O se poate calcula, în acest caz, cu teorema lui VarignonŞ
(4.66)
Fig.4.21. Torsorul şi axa centrală a unui sistem de forţe concurente
Axa centrală va fi o dreaptă care este paralelă cu rezultanta şi trece prin punctul de moment minim, deci prin V. În acest caz ecuaţia axei centrale poate fi scrisă sub forma:
(4.67)
sau, pe componente:
(4.68)
Prin eliminarea lui λ se poate pune sub forma:
(4.69)
Fig.4.22
Aplicaţie: Pentru sistemul de forţe din fig.4.22 să se determine torsorul de reducere în origine şi ecuaţia axei centrale.
deci:
.
Deoarece toate forţele sunt concurente în punctul V rezultă că momentul rezultant în punctul V este zero. Rezultă torsorul de reducere în punctul O:
Momentul în punctul O poate fi calculat cu teorema lui Varignon:
deci se va găsi în planul Oxy. Torsorul de reducere în punctul O va fi deci:
.
În punctul V momentul este zero, deci este momentul minim; rezultă că punctul V va aparţine axei centrale.
Fig.4.23. Forţe coplanare
Cum aceasta este o dreaptă paralelă cu rezultanta şi trece prin punctul V ecuaţia vectorială a ei va fi:
sau, pe componente:
Dacă se elimină
se obţine ecuaţia axe centrale sub forma:
.
În figura 4.17 sunt reprezentaţi torsorii de reducere în punctul O şi C şi axa centrală pentru acest sistem de forţe.
4.9. Distribuţia momentelor în jurul axei centrale
În punctele de pe axa centrală momentul are valoarea minimă. În toate celelalte puncte valoarea acestuia va creşte. Ne propunem să reprezentăm grafic distribuţia momentelor în spaţiu (fig.4.18).
i) Să considerăm un punct P pe axa centrală. Într-un punct P' , aflat la distanţa d de axă, momentul va fi compus din două componente: una egală cu momentul minimal şi cealaltă perpendiculară pe axă şi pe vectorul distanţă. Teorema momentului ne va da:
.
Să considerăm alt punct Q pe axa centrală. Atunci momentul sistemului de forţe calculat în punctul Q' (PP’=QQ’=d )va fi:
Întrucât vectorii
şi sunt echipolenţi rezultă că cele două momente sunt egale. Rezultă că toţi vectorii moment care se găsesc pe o dreaptă paralelă cu axa centrală sunt egali.
ii) Dacă vom calcula valoarea momentului în punctul P' se obţine:
Rezultă că toate punctele situate pe suprafaţa unui cilindru de rază d au aceeaşi valoare a momentului (simetrie cilindrică). Pe baza acestor două rezultate se poate desena distribuţia de momente ca în fig.4.18.
Fig.4.18