6g
6.3.2. Patrulaterul frecărilor
Să considerăm următoarea problemă: o bară omogenă, de secţiune constantă, de lungime 2L şi greutate G se sprijină pe doi pereţi, ca în fig. 6.26. Să se determine cât de înclinată poate fi aşezată bara astfel încât să rămână în echilibru.
Fig.6.26
Soluţie. Dacă avem frecări, reacţiunile în A şi B trebuie să se găsească în interiorul conului de frecare, care în acest caz plan se reduce la un unghi 2φ unde φ este unghiul de frecare. Având trei forţe, bara rămâne în echilibru dacă cele trei forţe sunt concurente. Intersecţia laturilor celor două unghiuri determină un patrulater care se numeşte patrulaterul frecărilor.
Dacă suportul greutăţii trece prin interiorul acestui patrulater, luând un punct oarecare de pe acest suport, care se găseşte în interiorul patrulaterului frecărilor, unind acest punct cu punctele de sprijin A şi B se obţin două direcţii.
Fig.6.27
Cum o forţă poate fi descompusă întotdeauna după două direcţii, se poate descompune greutatea G după cele două direcţii determinate anterior. Cele două componente vor reprezenta reacţiunile în A şi B. Întrucât construcţia se poate face pentru orice punct care se găseşte în patrulaterul frecărilor rezultă condiţia de echilibru: verticala punctului în care acţionează greutatea G trebuie să intersecteze patrulaterul frecărilor. Bara se va mişca atunci când suportul greutăţii va ieşi din patrulaterul frecărilor. La limită acest lucru se întâmplă atunci când în vârful cel mai din stânga al patrulaterului intersectează suportul greutăţii. Triunghiul BMA este dreptunghic. În acest caz, întrucât mediana împarte triunghiul dreptunghic în triunghiuri isoscele, rezultă:
de unde:
deci:
determină poziţia de echilibru a barei.
Raţionamentul aplicat în legătură cu patrulaterul frecărilor poate fi dezvoltat fără probleme dacă avem un corp mărginit de suprafeţe convexe care se sprijină pe alte două corpuri (fig.6.27). Şi în acest caz rezultanta forţelor exterioare trebuie să se găsească în interiorul patrulaterului frecărilor.
6.3.3. Frecarea de rostogolire
Se constată, în practică, că dacă aşezăm un cilindru pe un plan orizontal şi înclinăm încet planul, cilindrul va rămâne pe loc atâta timp cât unghiul făcut de planul pe care stă cilindrul şi orizontală este sub o anumită valoare. Teoretic, dacă înclinăm planul cu un unghi oricât de mic şi, dacă există frecare de alunecare, cilindrul va trebui să se rostogolească. Faptul că el rămâne pe loc dacă unghiul de înclinare nu depăşeşte o anumită valoare arată că există o rezistenţă la rostogolire care se manifestă ca un moment de rezistenţă la rostogolire şi care este tocmai momentul de rostogolire definit anterior. În cele ce urmează ne propunem să explicăm motivul pentru care apare această rezistenţă în cazul corpurilor reale.
Fig.6.28
Datorită deformării corpului şi a altor cauze, punctul de contact teoretic al cilindrului devine o zonă de contact unde apare o presiune variabilă a cărei torsor se reduce la o normală care, pentru a asigura echilibrul momentelor, va trebui să acţioneze la o distanţă s în faţa punctului teoretic de contact.
În acest caz ecuaţiile de echilibru vor fi:
la care se adugă relaţiile empirice:
(6.12)
În cazul în care echilibrul se rupe datorită nerespectării uneia din relaţiile empirice menţionate, putem avea următoarele cazuri:
a) corpul se rostogoleşte, fără să alunece:
;
Condiţia ca forţa de aderenţă să fie inferioară forţei limită de frecare duce la:
adică unghiul de frecare trebuie să fie inferior unghiului de înclinare al planului înclinat. Adunând cele două ecuaţii rezultă:
de unde se deduce unghiul pentru care începe să aibă loc rostogolirea fără alunecare:
(6.13)
Deci dacă avem condiţia:
avem rostogolire fără alunecare.
b) în cazul rostogolirii cu alunecare:
Condiţiile de echilibru devin:
Rezultă condiţiile ca cilindrul să se rostogolească şi în acelaşi timp să alunece:
(6.14)
c) în cazul când corpul alunecă fără să se rostogolească, avem:
.
Rezultă condiţiile de alunecare fără rostogolire:
(6.15)
condiţii care pentru materialele uzuale sunt greu de îndeplinit în practică, pentru majoritatea situaţiilor frecarea de rostogolire fiind mai mică decât frecarea de alunecare.