6b
6.2. Echilibrul rigidului supus la legături ideale (fără frecare)
6.2.1. Legăturile rigidului
La fel ca şi în cazul punctului material, în cazul rigidului supus la legături se utilizează axioma legăturilor pentru a înlocui constrângerile prin forţe cu efect mecanic echivalent. Sub acţiunea forţelor exterioare şi de legătură putem considera că avem de-a face cu un rigid liber iar ecuaţiile de echilibru care se vor scrie vor fi (6.1) cu completarea că la forţele exterioare în ecuaţii se adaugă şi forţele de legătură. Dacă în cazul unui rigid liber erau nevoie de şase parametrii independenţi pentru a-i descrie poziţia de echilibru, în cazul unui rigid supus la legături, acestea suprimă anumite posibilităţi de mişcare ale rigidului şi, ca urmare, numărul de parametrii independenţi pentru descrierea poziţiei de echilibru va scădea. În schimb vor apărea forţe de legătură necunoscute. Dacă numărul de forţe de legătură şi numărul de parametrii independenţi necesari pentru descrierea poziţiei în spaţiu este de şase, problema determinării poziţiei de echilibru şi a necunoscutelor forţe de legătură este, în general, determinată (există totuşi cazuri în care este nedeterminată sau imposibilă). Dacă numărul necunoscutelor reacţiuni împreună cu numărul de parametrii independenţi pentru descrierea poziţiei de echilibru este mai mare de şase problema este nedeterminată iar dacă este mai mic problema este imposibilă (corpul nu poate rămâne în echilibru, trebuie considerate în acest caz ecuaţiile de mişcare).
În aplicaţiile tehnice se întâlnesc cu precădere câteva tipuri de legături care vor fi descrise în cele ce urmează.
6.2.2. Reazemul simplu
Fig.6.1.Reazem simplu
În cele ce urmează considerăm un rigid care se sprijină pe o suprafaţă rigidă, fără frecări. Suprafaţa corpului şi suprafaţa pe care stă vor fi în contact într-un punct prin care se poate duce un plan tangent la cele două suprafeţe. Tot în punctul de contact se poate duce normala comună la cele două suprafeţe. Rigidul considerat este deci împiedecat, datorită suprafeţei pe care se sprijină, să se deplaseze după o direcţie normală la suprafeţele în contact, în punctul considerat. În acest caz se poate înlocui reazemul cu o forţă normală la cele două suprafeţe, care va împiedeca rigidul să trecă prin suprafaţa de sprijin. Mărimea acestei reacţiuni trebuie să fie atât cât să împiedece orice mişcare după direcţie normală a rigidului (Efectul mecanic al constrângerii şi al forţei de reacţiune să fie acelaşi). În fig. 6.1 este prezentat un rigid rezemat într-un punct. Datorită faptului că deplasarea după o direcţie este împiedecată, pentru descrierea poziţiei unui rigid vor fi necesari numai 5 parametrii scalari dar va interveni în plus o necunoscută, forţa de legătură normală. Un reazem deci va scădea numărul de parametrii independenţi necesari pentru descrierea poziţiei rigidului cu o unitate dar va introduce în plus o necunoscută, valoarea forţei de reacţiune. În general, probleme în care apar reazeme sunt determinate dacă numărul acestora nu este prea mare.
În cazul în care sprijinul se face pe o suprafaţă care are în punctul de contact punct singular (un vârf sau un colţ) sau în cazul în care rigidul are un punct singular care este punctul de contact cu suprafaţa fixă, atunci direcţia reacţiunii este determinată de normala la cealaltă suprafaţă (a rigidului sau a planului de sprijin). În fig. 6.4 sunt prezentate aceste două cazuri: în punctul A rigidul are un colţ care se sprijină pe suprafaţa verticală care va determina direcţia reacţiunii normale NA iar în punctul B suprafaţa de sprijin are un colţ pe care se sprijină suprafaţa barei. În acest caz normala la suprafaţa barei va determina direcţia reacţiunii NB.
În fig.6.2 sunt făcute reprezentări tehnice ale reazemelor. În fig. 6.2.a este reprezentat un reazem care împiedecă deplasarea după o direcţie, dar numai într-un sens, în celălalt corpul putându-se deplasa (legătură unilate-rală). În fig. 6.2.b. este reprezentată legătura bilaterală, în care este împiedecată depla-sarea în ambele sensuri ale corpu-lui, după direcţia considerată.
Fig.6.2. Legături unilaterale şi bilaterale
O aplicaţie simplă este prezen-tată în fig. 6.3 când o bară orizontală este sprijinită pe două reazeme şi este încărcată cu forţe acţionând vertical. Ne punem problema determinării reacţiunilor care apar în reazeme. După direcţia barei nu acţionează forţe, deci ecuaţiile de echilibru după axa Ox sunt identic satisfăcute.
Se scriu ecuaţiile de echilibru după direcţia forţelor:
şi ecuaţia de momente în punctul A:
Fig.6.3
Ecuaţia de momente ne dă imediat:
de unde, introducând în suma proiecţiilor după axa Oy, se va obţine:
Aplicaţii: 1. O bară omogenă de lungime 2L, de secţiune constantă şi de greutate G se sprijină pe doi pereţi aflaţi la distanţa a ca în fig.6.4. Să se determine unghiul făcut de bară cu orizontală în momentul echilibrului
Fig.6.4
Soluţie: Se înlo-cuiesc reazemele din A şi B cu forţele de legătură corespunzătoare (normale la supra-faţă în punctul de contact). Scriem ecuaţiile de echili-bru:
unde:
Din ecuaţia a doua rezultă:
şi înlocuind în ecuaţia de momente (a treia) se obţine:
sau:
.
Deoarece trebuie să avem
rezultă că pentru a avea echilibru trebuie ca adică centrul de greutate al barei să se găsească în dreapta punctului de sprijin B. În caz contrar (fig.6.5) bara va cădea între cei doi pereţi indiferent sub ce unghi
va fi aşezată.
Fig.6.5
Echilibrul barei este un echilibru instabil întrucât, dacă o scoatem din poziţia de echilibru, ea va cădea, sau între cei doi pereţi, sau pe planul orizontal.
Fig.6.6
Soluţia grafică a problemei se obţine în felul următor: cele trei forţe trebuie să fie concurente (momentul zero) şi suma vectorială a lor trebuie să fie zero (rezultanta zero) (fig.6.6). Din fig.6.6 rezultă:
dar:
Egalând cele două expresii obţinute pentru AB se obţine:
deci:
