5a

Capitolul 5

 

CENTRE DE GREUTATE (MASĂ) 

5.1. Centrul de greutate (masă) al unui sistem de puncte materiale

 

Să considerăm un sistem de puncte materiale   având vectorii de poziţie  şi de greutăţi respectiv  

  . Greutăţile formând un sistem de forţe paralele, rezultanta   poate fi aplicată în centrul forţelor paralele a cărui vector de poziţie este dat de relaţia:           

                                                                                        ,                              (5.1)

ţinând seama că     se obţine:

                    .      (5.2)

deci centrul de greutate depinde de distribuţia maselor situate în punctele de unde denumirea de centru de masă. Într-un sistem de referinţă cartezian acesta va avea coordonatele:

                                                    (5.3)

Fig.5.1. Centrul de masă al sistemelor de puncte

 

5.2.Centrul de greutate (masă) al unui solid

       În cazul unui corp continuu, îl vom considera divizat în volume elementare care au masa   . Vectorul de poziţie al centrului de greutate este dat de:

     .

  

     Fig.5.2. Centru de greutate al rigidului

 

Dacă facem ca elementele de masă să devină din ce în ce mai mici, la limită, sumele reprezintă sume Riemann, deci se va putea scrie:

                                                                                      (5.4)

 cu componentele:

                                                     (5.5)

 

5.3. Momente statice

         Se numeşte moment static şi se notează cu     mărimea:  

                                                    (5.6)     

cu componentele:

                                                        (5.7)

Atunci centrul de masă va avea expresia:

                                                                                                      (5.8)

cu componentele:

                                                                                  (5.9)

Momentele statice dau o măsură a distribuţiei maselor în spaţiu.

5.4. Formule pentru determinarea  poziţiei centrelor de greutate

În general, dacă rigidul are o densitate variabilă  ρ(x,y,z)  , ţinându-se seama de relaţia     unde  dV  reprezintă elementul de volum, va rezulta:

   

                                                                 (5.10)

cu componentele:

   (5.11)

Dacă avem de-a face cu un corp omogen, deoarece  

  , se obţine:

                                                                                                (5.12)

cu componentele:

                                             .           (5.13) 

În cazul în care avem de-a face cu plăci omogene de grosime constantă t (fig.5.3), se poate scrie  dV = t dS şi atunci se obţine:

                                                                                                                        (5.14)

cu componentele:

             (5.15)

                                              

 

       

      

                                   Fig.5.3                                           Fig.5.4

 

În sfârşit, dacă se consideră o bară omogenă de secţiune constantă  S (fig.5.4),  se poate scrie   dV = S dL   iar centrul de greutate va fi dat de: 

 

                                                          

                                                                                                  (5.16)

cu componentele:

                                                     (5.17)

 

 

5.5.  Proprietăţile centrelor de greutate (masă)

 

O serie de proprietăţi care se demonstrează uşor uşurează calculul poziţiei centrului de greutate (masă).

 

·       dacă toate masele punctelor se multiplică cu acelaşi scalar, poziţia centrului nu se schimbă (un corp omogen are acelaşi centru de greutate indiferent de matrialul din care este confecţionat).

·       dacă toate punctele unui sistem material se află pe o dreaptă sau într-un plan, centrul de masă este situat pe acea dreaptă sau în acel plan.

·       dacă un sistem material are un plan de simetrie, centrul de masă se află în acel plan de simetrie.

·       dacă un sistem de puncte admite o axă de simetrie, centrul de masă se află pe acea axă de simetrie.

·       dacă un sistem de puncte materiale admite un centru de simetrie, acesta va fi centrul de masă (exemplu: sfera are centrul de masă în centrul ei).

·       centrul de greutate (masă), fiind centrul unor forţe paralele se bucură de toate proprietăţile  enunţate pentru acesta, inclusiv de aceea că nu depinde de sistemul de coordonate ales ci doar de distribuţia relativă a punctelor materiale componente.