CAPITOLUL 4h

4.12.3. Sisteme de forţe paralele

Considerăm că toate dreptele suport ale forţelor sunt paralele între ele având versorul

. Pentru prima parte a prezentării, pentru uşurinţa calculului, considerăm că forţele sunt paralele cu axa Oz (fig.4.25). Deci un reprezentant al forţelor poate fi scris:

, relaţie în care mărimea reprezintă valoarea forţei afectată de semnul plus dacă forţa are aceeaşi orientare cu axa Oz şi de semnul minus în caz contrar. Rezultanta va fi:

(4.76)

cu componentele:

(4.77)

Momentul rezultant este:

(4.78)

cu componentele:

(4.79)

4.25. Sisteme de forţe paralele

Rezultă că vectorul moment rezultant se găseşte în planul xOy în timp ce rezultanta este perpendiculară pe acest plan. Deci momentul minimal în cazul sistemelor de forţe paralele este nul şi de aici rezultă aplicabilitatea teoremei lui Varignon.

Să determinăm ecuaţia axei centrale. Dacă P este un punct de pe axa centrală, momentul sistemului în acest punct este:

(4.80)

Notând

şi cu vectorul de poziţie al forţei , avem:

(4.81)

Avem deci:

sau:

.

Deoarece produsul vectorial este nul rezultă că vectorul din paranteză este colinear cu

, deci:

(4.82)

De aici rezultă că vectorul de poziţie va fi:

(4.83)

Cu notaţia:

(4.84)

se obţine ecuaţia axei centrale:

(4.83’)

care reprezintă o dreaptă paralelă cu versorul

, ce trece printr-un punct fix C numit centrul forţelor paralele:

(4.85)

cu coordonatele:

(4.86)

Centrul forţelor paralele are următoarele proprietăţi:

· se poate schimba direcţia tuturor forţelor cu acelaşi unghi, păstrându-se punctele de aplicaţie; axa centrală va trece tot prin C - întrucât coordonatele lui C nu depind de versorul

;

· se poate multiplica mărimea tuturor forţelor cu acelaşi factor k , coordonatele centrului forţelor rămânând aceleaşi:

· poziţia centrului forţelor paralele nu depinde de alegerea originii sistemului de referinţă. Într-adevăr, dacă O' este originea noului sistem de referinţa şi dacă se notează

iar cu vectorii de poziţie ai forţelor în noul sistem de referinţă, avem:

.

Vectorul de poziţie al centrului forţelor paralele se schimbă la fel ca vectorii de poziţie

, deci poziţia lui relativă nu s-a modificat.

Fig.4.26. Un sistem de forţe paralele

Aplicaţie. Se consideră sistemul de forţe paralele din fig.4.26. Să se determine torsorul de reducere al sistemului în origine, centrul forţelor paralele şi axa centrală a acestui sistem de forţe. Valorile forţelor sunt:

.

Soluţie: Avem(fig.4.26):

;

Rezultanta va fi:

.

Vectorii de poziţie ai punctelor de aplicaţie ai forţelor vor fi, respectiv:

;

.

Vom calcula momentele în origine:

;

.

Momentul rezultant în origine este:

.

Torsorul de reducere al sistemului în origine va fi:

.

Axa centrală a sistemului de forţe paralele se poate obţine acum cu relaţia:

.

4.12.4. Sisteme de cupluri

Definiţie. Un sistem de două forţe egale şi de sens opus, care acţionează pe două suporturi diferite, se numeşte cuplu.

Un cuplu tinde să rotească un rigid în jurul unei axe perpendiculare pe planul definit de dreptele suport ale forţelor (fig.4.27). Rezultanta cuplului este nulă (

=0).

În ceea ce priveşte momentul unui cuplu, acesta se bucură de proprietatea de a fi un vector liber ( în general momentul unui sistem este un vector legat, depinzând de punctul în care este calculat). Într-adevăr, dacă notăm cu

momentul calculat într-un punct oarecare O, aplicând teorema momentului, se va obţine pentru un punct P:

(4.87)

Fig.4.27. Cuplu de forţe

Rezultă că momentul unui cuplu nu depinde de punctul în care este calculat, fiind un vector liber.

Dacă distanţa dintre suporţii paraleli ai forţelor este d (care se numeşte braţul cuplului), mărimea cuplului se obţine cu uşurinţă ca fiind:

M = bF (4.88)

Din această formulă se constată că momentul unui cuplu poate fi interpretat ca fiind momentul unei forţe a cuplului calculat într-un punct de pe dreapta suport a celeilalte forţe care alcătuieşte cuplul.

Există o infinitate de cupluri care au aceleaşi momente. Aceste sisteme se numesc echivalente (fig.4.28).

Fig. 4.28. Cupluri echivalente

Planul care conţine dreptele suport ale celor două forţe se numeşte planul cuplului.

Fig.4.29. Compunerea a două cupluri

Să considerăm acum două cupluri. Fiecare cuplu va da un moment,

respectiv . Momentul rezultant va fi egal cu suma celor două momente (fig.4.29):

În mod analog, dacă se consideră un sistem alcătuit din mai multe cupluri, momentul rezultant va fi egal cu suma vectorială a momentelor date de fiecare cuplu în parte:

Un sistem de cupluri situate în diferite planuri, poate fi înlocuit cu un cuplu unic numit cuplu rezultant. Se pot introduce două forţe egale şi de sens contrar care să realizeze acest cuplu. Suporţii celor două forţe trebuie să se găsească într-un plan perpendicular pe momentul cuplului rezultant.

Continuare Capitolul 4