CAPITOLUL 4h

4.12.3. Sisteme de forţe paralele

 

Considerăm că toate dreptele suport ale forţelor sunt paralele între ele având versorul 

. Pentru prima parte a prezentării, pentru uşurinţa calculului, considerăm că forţele  sunt paralele cu axa Oz (fig.4.25). Deci un reprezentant al forţelor poate fi scris: 

 , relaţie  în care mărimea  reprezintă valoarea forţei afectată de semnul plus dacă forţa are aceeaşi orientare cu axa  Oz  şi de semnul minus  în caz contrar. Rezultanta va fi:                

                            (4.76)

                                                            

cu componentele:                      

                                                      

                    (4.77)

Momentul rezultant este:

   (4.78)                                                                                 

            

cu componentele:          

                              

               (4.79)  

 

  4.25. Sisteme de forţe paralele

 

Rezultă că vectorul moment rezultant se găseşte în planul   xOy   în timp ce rezultanta este perpendiculară pe acest plan. Deci momentul minimal  în cazul sistemelor de forţe paralele este nul şi de aici rezultă aplicabilitatea teoremei lui Varignon.

Să determinăm ecuaţia axei centrale. Dacă  P  este un punct de pe axa centrală, momentul sistemului în acest punct este:                                  

                           (4.80)

                                                           

Notând 

 şi cu   vectorul de poziţie  al forţei  , avem:

                         

    (4.81)      

                                                                                              

Avem deci:                              

sau:                          

  .

Deoarece produsul vectorial este nul rezultă că vectorul din paranteză este colinear cu  

  , deci:                              

                    (4.82)

                                                                   

De aici rezultă că vectorul de poziţie va fi:                

                                                               

                                

                 (4.83)

Cu notaţia:                  

                                                                                 

                   (4.84)

                                                                                    

se obţine ecuaţia axei centrale:

                                                            

                                                                               

                              (4.83’)

care reprezintă o dreaptă paralelă cu versorul 

 , ce trece printr-un punct fix  C  numit centrul forţelor paralele:

                      (4.85)

                                                                                 

cu coordonatele:

    (4.86)

                                     

Centrul forţelor paralele are următoarele proprietăţi:

·       se poate schimba direcţia  tuturor forţelor  cu acelaşi unghi, păstrându-se punctele de aplicaţie; axa centrală va trece tot prin  C  - întrucât  coordonatele lui  C  nu depind de versorul 

;

·       se poate multiplica mărimea tuturor forţelor cu acelaşi factor  k , coordonatele centrului forţelor rămânând aceleaşi:

·       poziţia centrului forţelor paralele nu depinde de alegerea originii sistemului de referinţă.  Într-adevăr, dacă  O'  este originea noului sistem de referinţa şi dacă se notează  

 iar cu  vectorii de poziţie ai forţelor  în noul sistem  de referinţă, avem:

  .

Vectorul de poziţie al centrului forţelor paralele se schimbă la fel ca vectorii de poziţie 

 , deci poziţia lui relativă nu s-a modificat. 

Fig.4.26. Un sistem de forţe  paralele

Aplicaţie. Se consideră sistemul de forţe paralele din  fig.4.26. Să se determine torsorul de reducere al sistemului în origine, centrul forţelor paralele şi axa centrală a acestui sistem de forţe. Valorile forţelor sunt: 

   .

Soluţie: Avem(fig.4.26):

 ;

 ;

 ;

 ;

;

Rezultanta va fi:

   .

Vectorii de poziţie ai punctelor de aplicaţie ai forţelor vor fi, respectiv:

 ;

 ;

 ;

 ; 

 ; 

 .

Vom calcula momentele în origine: 

   ;

   ;

   ;

   ;

  ;

 .

Momentul rezultant în origine este:      

  .

Torsorul de reducere al sistemului în origine va fi:

  .

Axa centrală a sistemului de forţe paralele se poate obţine acum cu relaţia:

  .

 

4.12.4. Sisteme de cupluri

 

Definiţie. Un sistem de două forţe egale şi de sens opus, care acţionează pe două suporturi diferite, se numeşte cuplu.

 

Un cuplu tinde să rotească un rigid  în jurul unei axe perpendiculare pe planul definit de dreptele suport ale forţelor (fig.4.27). Rezultanta cuplului este nulă (

 =0).

 În ceea ce priveşte momentul unui cuplu, acesta se bucură de proprietatea de a fi un vector liber ( în general momentul unui sistem este un vector legat, depinzând de punctul  în care este calculat).  Într-adevăr, dacă notăm cu 

 momentul calculat  într-un punct oarecare O, aplicând teorema momentului, se va obţine pentru un punct  P:                               

                                                               

                               (4.87)   

 Fig.4.27. Cuplu de forţe

 

Rezultă că momentul unui cuplu nu depinde de punctul în care este calculat, fiind un vector liber.

 

Dacă  distanţa dintre suporţii paraleli ai forţelor este d (care se numeşte braţul cuplului), mărimea cuplului se obţine cu uşurinţă ca fiind:

                                           M = bF                                  (4.88)

Din această formulă  se constată că momentul unui cuplu poate fi interpretat ca fiind  momentul unei forţe a cuplului calculat într-un punct de pe dreapta suport a celeilalte forţe care alcătuieşte cuplul.

Există o infinitate de cupluri care au aceleaşi momente. Aceste sisteme se numesc echivalente (fig.4.28).  

Fig. 4.28. Cupluri  echivalente

 

Planul care conţine dreptele suport ale celor două forţe se numeşte planul cuplului.

Fig.4.29. Compunerea a două cupluri

 

Să considerăm acum două cupluri. Fiecare cuplu va da un moment, 

 respectiv  . Momentul rezultant va fi egal cu suma celor două momente (fig.4.29):       

În mod analog, dacă se consideră un sistem alcătuit din mai multe cupluri, momentul rezultant va fi egal cu suma vectorială a momentelor date de fiecare cuplu în parte: 

 

Un  sistem de cupluri situate în diferite planuri, poate fi înlocuit cu un cuplu unic numit cuplu rezultant. Se pot introduce două forţe egale şi de sens contrar care să realizeze acest cuplu. Suporţii celor două forţe trebuie să se găsească într-un plan perpendicular pe momentul cuplului rezultant. 

Continuare Capitolul 4