2a

STATICA PUNCTULUI MATERIAL

2.1.Echilibrul punctului material liber

2.1.1. Punct material liber. Punct material supus la legături

Un punct material este liber atunci când poate ocupa orice poziţie în spaţiu. Poziţia lui va fi determinată de forţele care vor acţiona asupra lui. Algebric, poziţia unui punct material este determinată de trei parametri scalari, spre exemplu coordonatele carteziene x,y,z ale acestuia. Dacă nu există constrângeri de natură geometrică asupra punctului, poziţia lui este definită de trei parametri scalari independenţi şi spunem că punctul material are trei grade de libertate.

Dacă punctul material este supus unor constrângeri de natură geometrică, spre exemplu este obligat să rămână pe o suprafaţă sau pe o curbă, atunci spunem că punctul material este supus la legături. În acest caz numărul de parametri independenţi necesari pentru a descrie poziţia corpului va determina numărul de grade de libertate ale acestuia. Dacă este obligat să rămână pe o suprafaţă spunem că are două grade de libertate întrucât sunt necesari doi parametri independenţi pentru a-i descrie poziţia pe suprafaţă, dacă este obligat să rămână pe o curbă spunem că are un singur grad de libertate întrucât este necesar numai un parametru independent pentru a descrie poziţia punctului material pe curbă.

2.1.2. Rezultanta unui sistem de forţe

a) Suma a două forţe (compunerea forţelor)

Dacă avem un sistem de forţe care acţionează asupra unui punct material, întrucât punctul de aplicaţie al forţelor este acelaşi, spunem că avem un sistem de forţe concurente. Principiul paralelogramului ne spune că, dacă avem două forţe care acţionează asupra unui punct material, acestea pot fi înlocuite cu una singură, denumită rezultantă, obţinută prin regula de compunere a doi vectori (fig.2.1). Avem (teorema lui Pitagora generalizată):

(2.1)

unde:

. Dacă utilizăm un sistem de coordinate carteziene, putem exprima componentele rezultantei sub forma:

Fig.2.1. Compunerea a două forţe

Unghiul făcut de rezultantă cu axa Ox este dat de relaţia:

(2.2)

Dacă considerăm un caz particular în care axa Ox este aleasă în prelungirea forţei F1, rezultatele se simplifica şi devin:

(2.2’)

b) Descompunerea unei forţe după două direcţii

Am spus că forţele sunt vectori, deci toate proprietăţile vectorilor se pot aplica forţelor, inclusiv compunerea şi descompunerea acestora. Pentru importanţa lor în probleme, tratăm totuşi separat câteva dintre aceste proprietăţi. Astfel, utilizând regula paralelogramului, se poate face descompunerea unei forţe după două direcţii date. Prin punctul de aplicaţie al forţei se duc două drepte paralele cu direcţiile date (fig.2.2). Se mai duc paralele la direcţiile date prin vârful vectorului.

Fig.2.2

Se obţine astfel un paralelorgram ale cărui laturi sunt componentele forţei după cele două direcţii. Valorile proiecţiilor se obţin din teorema sinusului:

Fig.2.3

Dacă se aleg axele de coordonate, componentele forţei sunt proiecţiile după cele două axe. Menţionăm că în acest caz se ataşează mărimii proiecţiei şi semnul plus sau minus care indică dacă proiecţia este în acelaşi sens sau în sens opus cu sensul pozitiv al axei considerate.

.

Deci dacă

cel puţin una din componente va fi negativă.

c) Suma mai multor forţe (poligonul forţelor)

Dacă avem mai multe forţe care acţionează asupra unui punct material, prin inducţie matematică, forţa rezultantă se obţine ca fiind segmentul care închide poligonul alcătuit din aceste forţe, puse cap la cap (poligonul forţelor). În acest caz modulul rezultantei va fi dat de expresia:

(2.3)

Algebric, componentele X,Y,Z ale rezultantei sunt date de expresiile:

cu rezultanta:

2.1.3. Echilibrul punctului material liber

Principiul inerţiei ne spune că, pentru ca un punct material să rămână în repaus relativ, este necesar ca rezultanta forţelor care acţionează asupra lui să fie zero. Invers, dacă rezultanta sistemului de forţe este zero, legea a doua a lui Newton ne spune că acceleraţia este zero, deci punctul material rămâne în repaus relativ. Ca urmare rezultă condiţia necesară şi suficientă ca un punct material să rămână în echilibru: rezultanta sistemului de forţe concurente care acţionează asupra sa să fie zero. Analitic, avem:

(2.4)

sau, dacă proiectăm relaţia pe axele sistemului de coordonate carteziene, avem:

(2.5)

În cazul în care sistemul de forţe acţionează în plan, dacă considerăm că acest plan este Oxy, se obţine:

(2.6)

ecuaţia de proiecţii după axa Oz fiind identic satisfăcută.

În mecanică intervin în general două tipuri diferite de probleme care trebuiesc rezolvate:

Problema directă: dacă se dau forţele care acţionează asupra punctului material se pune problema de a determina poziţia acestuia. Întrucât avem trei ecuaţii de echilibru şi pentru definirea poziţiei punctului sunt necesari trei parametri scalari, rezultă că, în general, avem trei ecuaţii şi trei necunoscute. Pot exista următoarele cazuri: să existe soluţie unică, adică o singură poziţie de echilibru, să existe soluţie multiplă, adică mai multe puncte de echilibru, sistemul să fie imposibil, adică să nu existe nici o poziţie de echilibru sau sistemul să fie nedeterminat, deci să existe o infinitate de poziţii de echilibru.

Problema inversă: dacă se cunoşte poziţia de echilibru se cere să se determine sistemul de forţe care îl menţine în această poziţie. Această problemă este nedeterminată deoarece există o infinitate de sisteme de forţe concurente care pot avea aceeaşi rezultantă. În anumite situaţii, când se impun condiţii suplimentare privind numărul forţelor, direcţia lor, mărimea lor, problema poate avea soluţie.

În practică există puţine situaţii în care un punct material supus unui sistem de forţe poate fi modelat printr-un punct material liber; în general el este supus la constrângeri de natură geometrică. Se spune că punctul material este supus la legături.

2.2. Echilibrul punctului material supus la legături

2.2.1.Legături.Axioma legăturilor

Dacă un punct material este supus la legături atunci condiţia

nu mai asigură echilibrul. Dacă un punct material este obligat să rămâna pe o suprafaţă de exemplu, el nu se va putea deplasa pe o direcţie normală la suprafaţă, deşi există o componentă a rezultantei după această direcţie neechilibrată. Putem presupune că punctul material nu se poate deplasa după normala la suprafaţă întrucât va apare o reacţiune normală, suficient de mare, astfel încât să echilibreze componenta rezultantei după direcţia normalei. În acest caz putem considera punctul material liber dar asupra lui va acţiona o forţă suficient de mare, necunoscută, care îl va menţine în această poziţie în echilibru. În consecinţă o legătură geometrică poate fi suprimată şi înlocuită cu o forţă care să asigure respectarea legăturii de către punctul material liber.

Axioma legăturilor. O legătură geometrică poate fi întotdeauna înlocuită cu o forţă numită forţă de legătură (reacţiune). Punctul material, eliberat de legături, acţionat de forţele date şi de reacţiune, este echivalent din punct de vedere mecanic cu punctul material supus la legături.

Deci condiţia necesară şi suficientă pentru ca un punct material să rămână în echilibru este ca:

(2.7)

unde

este reacţiunea.

Prin utilizarea principiului lucrului mecanic virtual introducerea reacţiunilor poate fi evitată în rezolvarea unei clase bogate de probleme de mecanică. Din punctul de vedere al inginerului, determinarea reacţiunilor, deci a forţelor care solicită o anumită piesă, poate juca un rol important în rezolvarea aplicaţiei date. Pe lângă determinarea echilibrului sau a mişcării inginerul trebuie să găsească şi soluţia constructivă şi materialele care fac posibilă realizarea unei situaţii generate de practică deci în multe aplicaţii se impune şi calculul reacţiunilor. Dacă acestea nu sunt necesare o abordare a problemei utilizând principiul lucrului mecanic virtual poate fi o alternativă deosebit de utilă.

2.2.2. Echilibrul punctului material supus la legături ideale

2.2.2.1. Legături ideale

O legătură ideală este o legătură în care nu există frecări. În realitate astfel de legături nu există totuşi, pentru o clasă mare de probleme, frecarea este de un asemenea ordin de mărime încât poate fi neglijată fără a influenţa în mod hotărâtor rezultatele. Dacă considerăm un punct material obligat să rămână pe o suprafaţă sau pe o curbă atunci se poate scrie:

(2.8)

unde reacţiunea este normală la suprafaţă în cazul punctului material obligat să rămână pe o suprafaţă şi este într-un plan normal la curbă în cazul punctului material obligat să rămână pe o curbă.

Necunoscutele în cazul problemei punctului material supus la legături sunt poziţia de echilibru şi reacţiunea. Reacţiunea, în mod evident, este egală şi de sens contrar cu rezultanta forţelor efectiv aplicate, deci rămâne de rezolvat o singură problemă, aceea de a determina poziţia de echilibru.

Continuare Capitolul 2