6c

2. O bară omogenă, cu secţiune constantă, lungime 2L şi greutate G este aşezată într-o cavitate semisferică de rază R (fig.6.7). Să se determine poziţia de echilibru a barei (unghiul α).

Fig.6.7

Soluţie: Se înlocuiesc reazemele din A şi B cu reacţiuni normale la suprafaţa semisferei, respectiv a barei. Triunghiul OAB este isoscel (OA=OB) deci unghiul făcut de NA cu bara este α iar unghiul făcut de NA  cu orizontala este 2 α.  NB este perpendiculară pe bară deci face cu verticala unghiul α (unghiuri cu laturile perpendiculare). Ecuaţiile de echilibru vor fi:

Din triunghiul ABD rezultă:

. 

Din prima  ecuaţie scoatem NA:

şi înlocuim în a doua. Rezultă, succesiv:

de unde:

Înlocuind NB în ecuaţia de momente, se obţine ecuaţia trigonometrică:

(soluţia   

   nu convine). Relaţia obţinută se mai poate scrie:

Cu notaţia 

se obţine ecuaţia de gradul doi:

cu singura soluţie convenabilă:

Condiţia  

 duce la:  sau, după efectuarea calculelor:

 adică bara trebuie să fie mai lungă decât diametrul semisferei pentru ca problema să fie posibilă.

         Echilibrul realizat este stabil, adică dacă scoatem bara din poziţia de echilibru adăugând la 

  o cantitate mică, ea va tinde să revină în poziţia de echilibru.

                                          Fig.6.8

Soluţia grafică impune, la fel ca la problema precedentă, ca cele trei forţe să fie concurente şi suma vectorială a lor trebuie să fie zero. Dacă presupunem că I este punctul de intersecţie al forţelor NA şi NB, întrucât OA=OB=R iar triunghiul IAB este dreptunghic rezultă şi OI=R (fig.6.8). Condiţia  ca şi G să treacă prin I  duce la condiţia ca triunghiurile IBC şi IAB să fie asemenea, de unde se obţine:

Întrucât:

rezultă:

de unde:

adică aceeaşi ecuaţie trigonometrică ca cea obţinută prin scrierea ecuaţiilor de mişcare.

              

                        Fig.6.9

3. Să considerăm acum o bară obligată să rămână într-o poziţie impusă (fig.6.9) şi să determinăm forţele  care apar în acest caz în legături (reazeme). Rezolvarea unor probleme care impune determinarea unor forţe sunt mult mai simple întrucât implică numai ecuaţii sau inecuaţii lineare. Să considerăm că bara are greutatea G, este omogenă şi are lungimea 2L. Cavitatea în care trebuie să stea bara are lărgimea a şi înălţimea h.

         Întrucât avem o problemă plană, ecuaţiile de echilibru vor fi:

                             

de unde, după calcule simple, se obţine:

                        

                               Fig.6.9.b

         Problema poate fi rezolvată şi grafic în felul următor:  greutatea G şi reacţiunea în B au direcţii şi punct de aplicaţie cunoscute. Intersecţia dreptelor suport a celor două forţe ne dă punctul I. Reacţiunea în A trebuie să treacă prin I, deci va avea direcţia indicată în fig.6.9.b. Mărimea ei va fi determinată construind triunghiul format de cele trei forţe, în care G este cunoscută şi de asemenea direcţiile forţelor NB şi R.

Avem

   

deci:

Unghiul beta format de reacţiunea în A cu orizontala este: