6f
6.3. Legăturile reale ale unui rigid (cu frecare)
6.3.1. Frecările solidului rezemat
Să considerăm un rigid rezemat pe o suprafaţă oarecare într-un punct O numit punct teoretic de contact. Până la acest capitol am considerat că rigidul se sprijină într-un punct şi nu avem frecări. În realitate, din cauza deformărilor, contactul se realizează pe o suprafaţă. În afară de aceasta apar frecări, caracterizate prin coeficientul de frecare μ. Ca urmare a deformabilităţii şi a frecărilor, la tendinţa de mişcare a corpului vor apărea forţe şi momente de rezistenţă care se vor opune mişcării. Dacă sistemul de forţe se reduce în punctul de contact la o rezultantă şi un moment rezultant, să studiem modul în care acestea pot fi echilibrate de forţele care apar în reazemul cu frecare. Componenta normală apasă rigidul pe suprafaţa de contact fiind echilibrată de reacţiunea normală N. Componenta Rt a rezultantei tinde să deplaseze corpul în planul tangent, imprimându-i o mişcare de translaţie. Acestei forţe i se opune legătura prin o reacţiune, datorată frecărilor, numită forţă de frecare de alunecare. Această forţă respectă legile frecării prezentate în cazul punctului material. Echilibrul se realizează atâta timp cât componenta Rt este inferioară unei forţe limită de frecare. Experimental (vezi legile frecării în cazul punctului material) se constată că acestă forţă limită este proporţională cu forţa de apăsare normală. Echilibrul se realizează atâta timp cât:
(6.9)
Momentul rezultant are două componente: Mn orientată de-a lungul normalei şi care tinde să rotească corpul în jurul normalei şi una în planul tangent la suprafaţă Mt. care tinde să rostogolească corpul pe planul orizontal.
Fig.6.21
Mişcarea care este determinată de componenta normală se numeşte mişcare de pivotare. Acestei mişcări, datorită deformabilităţii corpurilor şi frecărilor care apar în punctul de contact, i se opune un moment, numit moment de frecare de pivotare (sau moment de pivotare). Se constată, experimental, că există echilibru când momentul după direcţie normală este inferior unei valori limită, proporţională cu forţa de apăsare normală:
(6.10)
Mărimea r se numeşte rază de pivotare şi, în anumite cazuri, care prezintă o regularitate suficientă, poate fi calculată.
Mişcarea de rotaţie determinată de componenta momentului din planul tangent se numeşte rostogolire. Datorită deformabilităţii corpului, la această mişcare apare o opoziţie, manifestată printr-un moment, numit moment de frecare de rostogolire (moment de rostogolire). La fel ca la pivotare, experimental, se constată că avem echilibru atâta timp cât componenta tangenţială a momentului este inferioară unei valori limită proporţională cu apăsarea normală
(6.11)
Mărimea s poartă numele, impropriu, de coeficient de frecare la rostogolire şi semnificaţia geometrică a acestuia va fi relevată în acest capitol.
În cele ce urmează se vor analiza mai pe larg motivele apariţiei acestor forţe şi a momente datorate frecărilor.
Fig.6.22. Transportul unui colos egiptean. Relief pe un mormânt din Deir-el-Bercheh
În fig. 6.22 se prezintă o modalitate de scădere a coeficientului de frecare utilizată pentru transportul greutăţilor foarte mari. Greutatea este transportată pe un strat subţire de argilă constituit în mod special, în faţa greutăţii. Pentru scăderea frecării acesta este udat în permanenţă cu apă aşa după cum se poate vedea în figură.
Aplicaţie: O bară omogenă de lungime L şi greutate G este împinsă, la un capăt cu o forţă P. Să se determine P astfel încât bara să fie scoasă din echilibru (fig.6.23). Să se rezolve aceeaşi problemă în cazul în care forţa nu mai acţionează la capăt ci la distanţa f L de capăt.
Soluţie: Dacă bara apasă cu greutatea G pe sol, la contactul dintre bară şi sol va apare o presiune pe unitatea de lungime:
Împinsă cu forţa laterală P bara se va roti în jurul unui punct situat la distanţa a de celălalt capăt. Vor apare frecări, opuse tendinţei de mişcare:
.
Ecuaţia de echilibru a forţelor după direcţia de acţiune a forţei P dă:
Fig.6.23
dacă
şi , dacă a se află în afara acestui interval. Ecuaţia de momente faţă de punctul în jurul capătului barei dă:
.
Înlocuind pe P cu valoarea obţinută anterior, considerând că a se găseşte între cele două capete ale barei, se obţine:
,
de unde:
semnificaţie fizică având soluţia cu minus întrucât am presupus că a se găseşte între capetele barei. Dacă introducem această valoare în expresia lui P se obţine:
adică mai puţin de jumătate decât forţa necesară pentru târâre directă. Rezultatul obţinut este utilizat în practică la transportarea greutăţilor (în fig. 6.24 este prezentată o reconstituire a modalităţii de transport a statuilor(moai) în insula Paştelui, după [1]).
Dacă forţa P acţionează la distanţa fL faţă de capătul barei se obţine pentru ecuaţia de echilibru după direcţia de acţiune a forţei P
dacă
şi , dacă a se află în afara acestui interval. Ecuaţia de momente faţă de punctul capătului barei dă:
.
Fig.6.24. Transportul statuilor în Insula Paştelui (reconstituire J.P.Adam)
Înlocuind pe P cu valoarea obţinută anterior se obţine:
de unde:
semnificaţie fizică având soluţia cu minus. Dacă f = 0,5 , punctul de rotire se obţine la capătul barei. De fapt, în acest caz, când P acţionează la mijlocul barei, se poate verifica că orice punct aflat pe axa barei şi situat în afara ei poate fi punct de rotaţie, verificând ecuaţiile de echilibru, deci în acest caz problema este nedeterminată.
Fig.6.25.