CAPITOLUL 8d
8.5.f. Palanul diferenţial (macaraua diferenţială)
Palanul diferenţial se compune din troliul A cu razele R şi r şi un scripete mobil cu raza r1 (fig.8.36). În absenţa frecărilor avem:
Fig.8.36. Palanul diferenţial
Fig.8.37. Palanul dublu
Mărimea
poartă numele de raport de demultiplicare şi este direct proporţional cu diferenţa R-r . Pentru un raport de demultiplicare mic trebuie ca r să fie apropiat de R .
Palanul dublu (fig.8.37) este o variantă constructivă obţinută prin alăturarea a două palane simple. Sarcina care poate fi ridicată este în acest caz dublă. Scripete S are rolul de a egaliza cele două ramuri ale cablului.
8.6. Roata
Atunci când avem de transportat un corp pe un teren orizontal se constată că este mult mai convenabil sa-l transportăm folosindu-ne de nişte roţi pe care să aşezăm corpul decât să-l târâm. Această observaţie se exprimă prin fraza „frecarea de rostogolire este mai mică decât frecare de alunecare”, care nu este foarte corectă din punct de vedere mecanic dar exprimă sugestiv o realitate fizică. Descoperirea roţii a reprezentat o invenţie de o importanţă deosebită în istoria umanităţii. Utilizarea ei la transportul greutăţilor foarte mari, în civilizaţia antică romană, este ilustrată mai jos[1]:
Fig.8.38.a. Sisteme de transport a greutăţilor. Vedere laterală(J.P.Adam)
Fig.8.38.b. Sisteme de transport a greutăţilor. Vedere în perspectivă(J.P.Adam)
a) Roata trasă
Se consideră un cilindru de masă m şi raza R tras, în centru, de o forţă orizontală constantă F (fig.8.39).
Fig.8.39. Roata trasă
Ecuaţiile de echilibru vor fi:
alături de condiţiile impuse experimental:
Pot exista mai multe moduri de rupere a legăturii cu frecare:
i) În cazul în care avem rostogolire fără alunecare presupunem îndeplinită condiţia
iar momentul de rostogolire(care se opune rostogolirii roţii) devine determinat prin ruperea legăturii:
.
Ecuaţiile de echilibru devin:
,
de unde, prin adunare, rezultă forţa de tracţiune minimă necesară pentru ruperea legăturii (deci pentru mişcarea cu viteză constantă a roţii):
.
Frecările trebuie să asigure îndeplinirea relaţiei
de unde rezultă condiţia de rostogolire, fără alunecare, sub acţiunea unei forţe F:
şi
.
ii) Rostogolire cu alunecare
În acest caz, la limită,
, , iar ecuaţiile de echilibru devin:
Rezultă:
; .
Roata va aluneca cu viteză constantă şi se va rostogoli cu viteză constantă. În general egalitatea între cei doi coeficienţi de frecare se întâmplă rar. Dacă este îndeplinită această condiţie, corpul se găseşte în echilibru cu tendinţa de mişcare de alunecare şi rostogolire în acelaşi timp. Echilibrul se rupe dacă există relaţiile:
;
când corpul va avea o mişcare de alunecare şi rostogolire.
iii) Alunecare fără rostogolire. Acest mod de mişcare este teoretic posibil dar mai rar întâlnit în practică. Legătura se rupe, permiţând alunecarea cilindrului dar nu şi rostogolirea lui. Avem:
,
iar ecuaţiile de echilibru devin:
de unde:
şi .
Fig.8.40. Reprezentarea zonelor de echilibru
În fig.8.40 sunt reprezentate zonele de echilibru ale roţii trase pe planul orizontal.
Fig. 8.41. Roaba
Roaba reprezintă o aplicaţie la roata trasă. Cu ajutorul unei roabe se transportă greutăţi (fig. 8.41). Scopul este de a transporta o greutate cât mai mare în roabă utilizând forţa unui om. Acesta va trebui să ridice cu ajutorul mânerelor roaba de pe sol după care să o împingă pe planul orizontal, învingând forţele de rezistenţă care apar în timpul rostogolirii roţii. În fig. este prezentat modelul mecanic al unei roabe, compus din două corpuri, unul reprezentând cadrul încărcat cu greutatea cadrului, cutiei şi a greutăţii de transportat şi al doilea reprezentând roata. Cel care manevrează roaba are de efectuat două mişcări: mai întâi ridicatul roabei, când trebuie să aibă forţa necesară de a o ridica şi apoi împingerea roabei pe orizontală, când trebuie să susţină roaba şi să o împingă orizontal. Forţa de susţinere a roabei în timpul mişcării va scădea faţă de forţa necesară pentru ridicarea ei. Forţa de împingere orizontală, prin momentul ei, face să scadă această forţă, lucru care se va vedea după scrierea ecuaţiilor.
Fig. 8.42. Descompunerea sistemului în părţile componente
La ridicarea roabei, forţa de aderenţă T este nulă întrucât nu există componenta orizontală. Componenta verticală Fy se obţine din ecuaţia de momente, scrisă pentru întreaga roabă în punctul de contact cu solul B. Rezultă:
de unde:
.
Dacă roaba începe să se mişte, vom putea scrie ecuaţiile de echilibru pentru cele două părţi ale roabei. Se obţin seturile de ecuaţii:
Deoarece roata se rostogoleşte:
.
Rezultă:
Pentru a avea rostogolire pură trebuie ca
. Dacă această condiţie nu este îndeplinită putem avea rostogolire cu alunecare a roţii roabei.
Din ultima relaţie rezultă forţa minimă Fx necesară pentru a împinge roaba pe orizontală:
Dacă luăm ca parametru distanţa xc care defineşte poziţia încărcăturii pe roabă, vom putea reprezenta forţele Fx şi Fy ca funcţie de xc (fig.8.43).
Fig.8.43. Reprezentarea forţelor necesare pentru susţinerea roabei şi împingerea ei
Se alege, atunci când se proiectează roaba, un xc care să asigure o forţă de susţinere mică Fy (pentru un anumit xc aceasta poate deveni chiar 0), dar şi o forţă de împingere mică Fx. Compromisul îl stabileşte proiectantul, în funcţie de valorile pe care le au dimensiunile roabei, raza roţii şi coeficientul de frecare la rostogolire.
b) Roata motoare
Roata este supusă unui moment motor ce face să apară o forţă de aderenţă T între roată şi planul orizontal, care va propulsa roata spre înainte. Presupunem că există o forţă care se opune mişcării roţii (o forţă de tracţiune F). Există deci doi parametrii care vor determina echilibrul corpului, momentul motor Mm şi forţa de tracţiune F. Ecuaţiile de echilibru vor fi:
unde, pentru echilibru este necesar să fie respectate şi condiţiile:
După pierderea echilibrului pot exista următoarele moduri de mişcare:
i) Rostogolire fără alunecare:
;
Eliminând T şi înlocuind Mr rezultă:
8.4.4. Roata motoare
Condiţia de rostogolire fără alunecare este îndeplinită dacă se măreşte masa corpului care se rostogoleşte, la un drum dat, a cărui aderenţă este definită de coeficientul de frecare la alunecare şi la rostogolire.
ii) Rostogolire cu alunecare:
.
În acest caz aderenţa este ruptă, forţa T devine egală cu forţa limită de frecare
(şi indiferent de valoarea momentului nu poate depăşi această valoare) iar ecuaţiile de echilibru dau:
; .
Acest caz reprezintă o situaţie cu totul particulară în care sunt condiţionate ca valoare atât forţa F cât şi momentul Mm.
iii) alunecare fără rostogolire:
.
Rezultă:
; .
Această situaţie poate fi întâlnită la un automobil atunci când roata este frânată.
c) automobilul reprezintă o aplicaţie foarte importantă pentru roata „motoare”. Să presupunem un automobil care are tracţiune faţă. Roţile din spate sunt roţi „trase”. Rezistenţele sunt reprezentate de coeficientul de frecare la rostogolire (pe care-l considerăm acelaşi pe faţă şi pe spate) şi rezistenţa aerului. Automobilul se mişcă cu viteză constantă.
Fig. 8.45. Automobilul şi solicitările la care este supus
a. roata trasă b. corpul automobilului c.roata motoare
Fig. 8.46. Descompunerea în părţile componente
Ecuaţiile de echilibru pot fi scrise dacă se analizează fig. 8.46.
Pentru roţile motoare:
Pentru roţile trase:
Pentru corpul automobilului rezultă:
Dacă ne propunem să determinăm momentul motor necesar pentru deplasarea automobilului cu viteză constantă, este suficient să reţinem din setul de ecuaţii doar relaţiile:
sau, după transformări:
Prin adunarea relaţiilor se obţine:
de unde rezultă momentul motor necesar:
