CAPITOLUL 10a

Capitolul 10

PRINCIPIUL  LUCRULUI  MECANIC  VIRTUAL

       Principiul lucrului mecanic virtual a jucat un rol esenţial în dezvoltarea mecanicii, primele idei legate de acest principiu putând fi identificate în operele anticilor.

Acest principiu este foarte folositor atunci când se tratează sisteme mecanice cu legături. Pentru a trata astfel de sisteme utilizând legile lui Newton, sunt introduse forţe şi momente de legătură care împreună cu forţele şi momentele date asigură (în cadrul staticii) echilibrul sistemului. Principiul lucrului mecanic virtual evită această abordare renunţând la forţele şi momentele de legătură, care de multe ori, nici nu sunt necesare în rezolvarea problemei. Principiul a fost aplicat mai întâi în statică după care a fost extins de către d’Alembert în dinamică. Principiul a jucat un rol hotărâtor în dezvoltarea mecanicii analitice de către Lagrange.

         Orice problemă de mecanică impune cunoaşterea posibilităţilor de mişcare ale componentelor sistemului studiat. Întrucât în statică nu avem mişcare, se trece cu vederea faptul că la orice problemă de statică trebuie să determinăm mai întâi care ar fi posibilităţile de mişcare ale  corpurilor. Acest lucru se face în general intuitiv, fără a conştientiza că de fapt facem o analiză a mişcărilor virtuale pentru a impune condiţiile care asigură echilibrul, adică nu permit mişcări.

10.1. Legături

       Noţiunea de legătură a fost introdusă în cazul studiului echilibrului punctului material. O legătură presupune o restrângere a poziţiilor pe care le poate lua punctul material, o constrângere aplicată acestuia. În funcţie de modul de exprimare analitică a constrângerii avem legături olonome, când legăturile sunt exprimate prin relaţii geometrice de forma

şi legături neolonome, cand constrângerea este exprimată printr-o relaţie de forma:

Dacă legăturile nu sunt dependente de timp, cum sunt cele scrise anterior, ele se numesc scleronome. Dacă sunt dependente de timp se numesc reonome şi au forma:

pentru legăturile olonome şi:

  deplasarea infinitezimală ce are efectiv loc sub acţiunea forţelor care acţionează asupra punctului material. Deplasarea va avea loc în planul tangenţial. Dacă suprafaţa  considerată se scrie:

Componentele dx, dy şi dz vor satisface relaţia:

  .

Se numeşte deplasare posibilă orice deplasare infinitezimală compatibilă cu legăturile. Deplasările posibile ar putea fi produse de diferite sisteme de forţe care ar acţiona asupra punctului material. Deplasarea reală este una dintre deplasările posibile.

         În cazul legăturilor scleronome deplasările posibile se numesc deplasări virtuale compatibile cu legăturile. Deplasarea reală se va găsi în acest caz printre deplasările virtuale.

         În cazul legăturilor reonome noţiunea de deplasare virtuală se introduce mai complicat, îngheţând suprafaţa care defineşte legătura la un moment dat şi considerând toate deplasările infinitezimale compatibile cu legătura. În acest caz deplasările virtuale reprezintă o clasă particulară de deplasări posibile. În cazul legăturilor reonome deplasarea reală nu se va găsi printre deplasările virtuale. Deplasarea virtuală a punctului material se notează cu  

  .

            O discuţie mai detaliată asupra acestor noţiuni se va face în partea dedicată mecanicii analitice.

10.3. Principiul lucrului mecanic virtual

         Să considerăm un punct material obligat să rămână pe o suprafaţă netedă (fără frecare). Rezultanta vtuturor forţelor care acţionează asupra punctului material este 

. Reacţiunea care apare la contactul cu suprafaţa conform axiomei legăturilor, este normală la suprafaţă 

 . Dacă se consideră o deplasare virtuală  

  a punctului material, aceasta se va face într-un plan tangent la suprafaţă, deci va fi perpendiculară pe  

 . De aici rezultă:

care exprimă proprietatea că lucrul mecanic al reacţiunii la o deplasare compatibilă cu legătura este nul. Pentru toate situaţiile care pot fi analizate în cazul legăturilor ideale care se pot imagina rezultă că lucrul mecanic al forţelor de legătură este nul. Aceste rezultate au fost postulate în enunţul:

(I) În cazul unui sistem de puncte materiale supus la legături ideale (fără frecare) lucrul mecanic al forţelor de legătură este nul.

Acest enunţ reprezintă o primă formă a principiului lucrului mecanic virtual.

Dacă considerăm un punct material obligat să rămână pe o suprafaţă fără frecare, ecuaţia de echilibru ne dă:

care, dacă se înmulţeşte cu deplasarea infinitezimală   ne va da:

unde cu    s-a notat reacţiunea rezultantă asupra punctului material i datorată legăturilor (interioare sau exterioare). Deoarece legăturile sunt ideale lucrul mecanic al reacţiunilor este nul, deci:

 .

De aici rezultă că în cazul unui sistem de puncte materiale, supus la legături(interioare şi exterioare), lucrul mecanic virtual al forţelor date este nul. Avantajul principiului constă în aceea că elimină reacţiunile, simplificând rezolvarea unei probleme de statică. Relaţia este obţinută utilizând ecuaţiile de echilibru, de unde rezultă că este o relaţie necesară de echilibru. În condiţii destul de largi, această condiţie este şi suficientă.

Rezultă de aici o a doua formulare pentru principiul lucrului mecanic virtual:

Condiţia necesară şi suficientă pentru ca un sistem de puncte materiale să se afle în repaus sub acţiunea unui sistem de forţe date, este ca lucrul mecanic virtual al acestor forţe să fie nul.

Fig.10.1

Aplicaţie. Să considerăm problema din fig.6.15 la care am ataşat un sistem de coordonate cartezian la care să raportăm coordonatele punctelor de aplicaţie ale forţelor (fig.10.1). Coordonatele punctelor B şi D vor fi şi deplasările lor virtuale compatibile cu legăturile vor fi:

şi:

Lucrul mecanic virtual al forţelor P şi G va fi:

Reacţiunile din articulaţia A nu produc lucru mecanic întrucât deplasarea virtuală a articulaţiei este zero. Dacă înlocuim deplasările virtuale calculate va rezulta:

şi a doua soluţie, care corespunde problemei reale:

   .

10.4. Principiul lui Toricelli

Principiul lui Toricelli reprezintă un caz particular al principiului lucrului mecanic virtual, atunci când asupra sistemului mecanic acţionează numai greutăţile corpurilor. Să considerăm un sistem de puncte materiale de mase mi care au cota zi. Lucrul mecanic virtual pentru sistem se scrie:

sau, după efectuarea unor calcule simple:

  .

Dar paranteza reprezintă momentul static  

şi atunci se obţine:

Rezultă: configuraţia de repaus a unui sistem de puncte materiale acţionate exclusiv de greutatea proprie este aceea care face staţionară cota centrului său de greutate (ocupă poziţiile pentru care cota este minimă sau maximă).

Un rezultat este acela că lănţişorul  (forma de repaus a unui fir omogen greu) este, dintre toate formele posibile pentru un fir de lungime dată şi cu extremităţile fixate, aceea pentru care centrul de greutate are cota minimă. 

Fig.10.2

Aplicaţie. Să considerăm problema din fig.6.4. Am adăugat un sistem de coordonate pentru a putea aplica principiul lui Toricelli (fig.10.2). Ordonata centrului de greutate este:

iar deplasarea virtuală după direcţia de acţiune a greutăţii:

  .

Condiţia ca paranteza să se anuleze conduce la:                     

   ,

de unde:                               

   .