2c
2.2.2.3. Echilibrul punctului material pe o curbă netedă
În cazul punctului material obligat să rămână pe o curbă netedă (fără frecare), este necesar ca componenta forţei după direcţia tangentei să fie zero. În caz contrar, punctul material s-ar mişca după tangenta la curbă. Cealaltă componentă, aflată într-un plan perpendicular pe curbă, va fi echilibrată de reacţiunea care apare în legatură, împiedecând punctul material să treacă prin curbă. Deci condiţia necesară şi suficientă pentru ca un punct material să rămână în echilibru pe o curbă este ca rezultanta să se găsească într-un plan perpendicular pe curbă. În cele ce urmează vom determina expresii analitice pentru studiul echilibrului punctului material pe o curbă, fără frecare.
a) Ecuaţia curbei se obţine prin intersecţia a două suprafeţe
Să considerăm o curbă (C) a cărei ecuaţie este determinată de intersecţia a două suprafeţe (S1) şi (S2). Presupunem că cele două suprafeţe sunt date sub forma implicită:
(2.35)
Fig.2.8. Echilibrul punctului material pe o curbă netedă
Ecuaţiile de echilibru sunt date de:
(2.36)
Reacţiunea N se găseşte în planul perpendicular pe curbă. Acest plan este generat de normalele la cele două suprafeţe luate într-un punct al curbei. Dacă notăm cu
şi cu normalele la cele două curbe, reacţiunea normală va fi o combinaţie liniară a celor doi vectori, deci va avea forma:
(2.37)
unde avem:
(2.38)
Ecuaţia vectorială de echilibru, scrisă pe componente,
(2.39)
care, împreună cu cele două ecuaţii ale suprafeţelor, formează un sistem de cinci ecuaţii cu cinci necunoscute; trei, coordonatele poziţiei de echilibru a punctului material iar două, scalarii λ1 şi λ2. În cazul problemei directe, adică a determinării poziţiei de echilibru, valorile λ1 şi λ2 nu interesează şi pot fi eliminate din primele trei ecuaţii, dacă se ţine seama de teoria sistemelor de ecuaţii lineare. În acest caz, primele trei ecuaţii sunt înlocuite cu una singură, reprezentată de determinantul caracteristic al sistemului linear în λ1 şi λ2:
(2.40)
care, împreună cu cele două ecuaţii ale suprafeţelor, formează un sistem de trei ecuaţii cu trei necunoscute.
b) Condiţia ca reacţiunea să fie normală la curbă se poate exprima şi în felul următor: tangenta la curbă şi normala sunt perpendiculare. Deci, produsul lor scalar este nul. Tangenta se poate exprima sub forma:
(2.41)
de unde condiţia de ortogonalitate se poate scrie:
(2.42)
condiţie echivalentă cu determinatul exprimat anterior.
c) Suprafeţele sunt date sub forma explicită:
(2.43)
Ele sunt aduse la forma implicită:
(2.44)
iar ecuaţiile de echilibru scrise anterior devin:
(2.46)
Dacă se elimină λ1 şi λ2 , care nu interesează, se va obţine:
(2.47)
şi, împreună cu ecuaţiile celor două suprafeţe, relaţia obţinută formează un sistem de trei ecuaţii cu trei necunoscute care vor oferi poziţiile punctelor de echilibru.
O altă formă, obţinută dacă se consideră ortogonalitatea dintre tangentă şi reacţiunea normală, este dată de:
(2.48)
d) Ecuaţia curbei este dată sub forma parametrică
Se dă ecuaţia curbei sub forma parametrică:
(2.49)
Tangenta la curbă va avea ecuaţia:
(2.50)
Fig.2.9. Ortogonalitatea dintre rezultantă şi tangentă
Aceasta trebuie să fie perpendiculară pe rezultanta forţelor, deci produsul lor scalar este sau, dacă se consideră componentele celor doi vectori:
X x'(t) + Y y'(t) + Z z'(t) = 0 . (2.51)
Din această relaţie se scoate parametrul t la echilibru care, înlocuit apoi în ecuaţiile parametrice ale curbei, va da coordonatele poziţiei de echilibru. Acest mod de a rezolva problema este foarte simplu dar nu întotdeauna se cunosc ecuaţiile parametrice ale curbei.
Dacă se cere forţa necesară a ţine punctul material într-o poziţie de echilibru, atunci ecuaţia scrisă anterior este identic satisfăcută dacă se ia:
(2.52)
unde λ, μ, ν, sunt trei parametri arbitrar aleşi.
e) Aplicaţie. Un punct material este obligat să rămână pe o elice cilindrică sub acţiunea unei forţe orizontale şi a greutăţii
. Să se determine punctele de echilibru ale corpului pe curbă.
Soluţie: Ecuaţia parametrică a elicei cilindrice este:
unde rezultă componentele tangentei:
unde a este raza cilindrului care determină elicea. Condiţia de echilibru: conduce la:
sau:
de unde:
iar coordonatele punctelor de echilibru sunt date de relaţiile:
pe o suprafaţă aspră într-un punct A, este necesar ca rezultanta forţelor efectiv aplicate să se găsească în interiorul conului de frecare din acel punct.