El examen final.

Solución pregunta 2 de Diosdado Burelepe. En el cálculo de y para x=3.85 al final de la parte (a), debió usar el ln(x) o ln(3.5) pero usó el valor de 3.5 lo cual es incorrecto.

El tercer parcial. Hay que resolver en todo el intervalo de integración. No sólo 3 iteraciones. Use Octave

Solución problema 1, Justo Bacale. Excelente código Octave de solución.

Solución problema 2, Diosdado Burelepe. Sólo hace 2 iteraciones, no hay código Octave y Delta_x es en realidad Delta_t.

Solución problema 3 Justo Bacale. No incluyó en la formulación del problema ninguna penalización por exceder los 2 Kg. Sólo hizo dos iteraciones.

1. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales que se muestra a continuación para t entre 0 y 5. Asuma que x1(0)=0; x2(0)=1. Escoja un paso de 0.1. Use RK4.

2. Resuelva el problema del Agente Viajero (TSP) que se muestra en la figura. Asuma que siempre sale de LA y debe regresar a LA sin pasar más de una vez por ninguna ciudad. Use 0.1 para decidir permutar y seleccione un punto de corte al azar. Seleccione de la misma forma que trabajamos en clase para las repeticiones y haga evolución continua.

3 Resuelva el sudoku que se muestra a continuación usando algoritmos genéticos

Resuelva la ecuación diferencial siguiente para valores de x en el intervalo [-0.9, 0.9], cuando y'=-x/y.

1. Ralson y Condición Inicial (-0.9, 0.4359)

2. Heun y Condición Inicial (0.9, 0.4359)

3. RK4 y Condición Inicial (-0.9, 0.4359)

4. RK4 y Condición Inicial (0.9, 0.4359)

Solución (1) por Joaquín Linus. El programa de Octave mostrado no funciona. Tiene una serie de errores como por ejemplo nunca actualizar (x0,y0), usar siempre y(9) que no se sabe qué es (debe dar error allí) y el uso de paréntesis y corchetes está mal.

Solución del punto 4 por Donato Owono. Sólo hace una iteración, la fórmula para calcular las k no está correcta porque no incluye el paso, calcula los valores en puntos fuera del intervalo deseado y no hay programa en Octave.

Solución (3) por Justo Bacale. Muy buen código de Octave.

El segundo parcial. Acá.

Solución problema 1, José Monsuy. Linealización del problema correcta.

Solución problema 1. Armando Ikako. La solución no es correcta porque en la linealización propuesta, la variable independiente no lo es en realidad por ser un cociente de ella misma con la variable dependiente. Sin embargo, la propuesta es muy original y la razón del no funcionamiento no fue incluida en la explicación de la linealización. Esperamos que algún estudiante presente la solución correcta.

Solución al problema 2. Cristo Belarmino. El problema tiene varios errores. El primero, de concepto. Se estaba buscando el valor de k para c=2. Los valores de a0, a1 y a2 están bien, pero hay una confusión muy grande en los de x. x0=1.5; x1=2.5 y x2=4. A partir de allí, tampoco se entiende por qué quiere calcular en x=2.5. En ese punto, si estuviese bien aplicada la fórmula, debería dar k=7.6, lo que ya sabíamos de antemano.

Solución del problema 4 del examen por Donato Esono

Los problemas de esta semana son los mismos que aparecen en los vídeos de los Apuntes de Clase, items del 12 al 22.

Solución item 13 Problema 45. Donato Esono. Enlace al vídeo de YouTube. No hay código Octave ni ninguna explicación del problema que resuelve.

Solución item 13 Problema 46. Herculano Nguema. Enlace al vídeo de YouTube. No hay código Octave.

Solución item 13 Problema 48. Armando Ikako. Enlace al vídeo de YouTube. No hay código Octave.

Solución Joaquín Linus. Item 13, problema 47. Enlace el vídeo de YouTube. Muy buena respuesta.

Solución item 13 problema 51, Sergio Nsué.

Problemas de la semana 6 (23 al 27 oct): 

Solución del problema 5.6 por Sergio Nsué. La respuesta es en realidad 5.69. Y no se intercambian los roles de la variable dependiente e independiente, sino que se obtiene el polinomio correcto con la variable independiente dada (el tiempo) y de allí se encuentra el cero de la función con cualquiera de los métodos vistos en clase.

Solución del problema 17.15 por Sergio Nsué. Sergio en realidad no respondió a la pregunta, que era ajustar una curva de lla forma y=a+bx+c/x (encontrar a,b,c) y ajustó una curva y=a+bx.

Problemas de la semana 5 (16 al 20 oct): El primer parcial.

A) La tabla la interpretamos de la forma: Para producir una cartera se necesitan 2 unidades de tela, 2 de cremalleras y 1 de accesorios. Escriba el sistema de ecuaciones que modelan al sistema y encuentre la cantidad de carteras, mochilas y accesorios que se producirán con las unidades disponibles de tela, cremalleras y accesorios usando Eliminación de Gauss.

B) Se ha cambiado el modelo de Mochilas y sólo se necesita 1 unidad de Cremalleras en lugar de las 8 anteriores. También se han cambiado las Correas y ahora sólo se necesita por cada Correa, un accesorio. ¿Puede encontrar la cantidad nueva de Carteras, Mochilas y Correas? ¿Qué está pasando ahora?

C)  Calcule la solución de (A), por el método de Gauss Jordan. Haga lo mismo con el problema en B.

D) Calcule la solución de (A), por el Método de Gauss Sidel. Haga lo mismo con el problema en B.

E) Haga la factorización LU de la matriz de incógnitas de (A) y encuentre su inversa usando esa factorización. Intente hacer la factorización de (B). ¿Qué ocurre?

Sea A={aij}  la matriz de 3x3 tal que aij= α si i=j, y aij= 1 si i ≠ j. Escriba la matriz a de forma explícita y determine los valores de α que hacen a la matriz invertible.

Solución de Herculano Nguema de la parte (a). Tiene un error porque entra a iterar con 0.3 en grados y es en radianes. Los cálculos en Ingeniería, en general son en radianes. No calculó el error para determinar convergencia y no incluyó el código de Octave para resolver el problema. Tampoco graficó la función. Por último, le faltaron los métodos de la secante y de Bisección.

El código de Octave que crea una función calcnr.m para resolver el problema es:

function [xnr,er,er1] = calcnr(x1,k_max)

%% CALCULA EL CERO DE LA FUNCION f(x) = 7*sen(x)*e^(-x)-1

%% USANDO EL METODO DE NEWTON RAPHSON

%% "er" ES EL ERROR que verifica convergencia y "er1" el el valor de la

%% función f(xnr) en el último x calculado xnr.

%% El valor inicial es 0.3 y las iteraciones

%% son k_max =5

  f = @(x) 7*sin(x)*e^(-x)-1;  %% FUNCION

  df= @(x) 7*e^(-x)*(cos(x)-sin(x)); %%DERIVADA DE LA FUNCION

  xnr=x1;

  for i=1:k_max

    if (df(x1)==0)

      disp("la derivada es cero, comience con otro valor");

      break

    endif

    x1=x1-f(x1)/df(x1);

    er=(xnr-x1)/xnr*100

    xnr=x1

    er1=f(xnr)

    fprintf('---');

    fprintf('\n')

  endfor

endfunction

Después de 5 iterciones el método converge con un error del 3,66x10-10 %  y la función en la solución (xnr = 0.170179993753835) es er1 = 2.220446049250313x10-16 , es decir, prácticamente 0.

La gráfica de la función se muestra abajo. Observen que habiendo comenzado en 0,3 hemos encontrado el primer cero de la función. Hay otro cero positivo y muchos negativos, con la periodicidad del seno.

Solución de la parte (c) de Cristo Belarmino. A partir de la iteración 3 hay errores numéricos importantes. El trabajo es minimalista. No hay enunciado, ni explicación alguna.

Solución de Justo Okié. La matriz que resuelve NO es la matriz del problema (se da arriba de manera clara. ¿Por qué no usa la matriz dada?), y además no indica los pasos que ha seguido para calcular las corrientes.

Para todas las funciones que se muestran a continuación:

1. grafique aproximadamente la función (puede usar Desmos.com en la web. Pulse en Calculadora Gráfica) y haga una captura de pantalla.

2. calcule la primera raíz real positiva con al menos 4 decimales de precisión, por los métodos de Bisección, Newton Raphson y Secante. Para el polinomio en (a), calcule tanto la raíz real positiva, como las dos raíces complejas, por el método de Muller.

3. Calcule el primer máximo en la parte del eje "x" de los reales positivos de las funciones que los tengan.

4. Presente los programas en Octave con los que realizó los cálculos e hizo las gráficas de los puntos 1 al 3.

a. 2x3-11.7x2+17.7x-1

b. e0.5x-5+5x

c. sen(x)+cos(1+x2)-1

e. 7e-xsen(x)-1

Solución de Herculano Nguema. Faltan los apartados (d), (e) y (f).  Sólo a, b y c.

Solución de Armando Ikako. Apartado (e). No calculó la inversa, sólo el determinante.

Solución del P1 de Javier Contén. Sólo el código que corregimos ligeramente

function [xr,vf]= plbisec(x1,x2,kmax)

f=@(x) 2*x^3-11.7*x^2+17.7*x-5;

for i=1:kmax

  xn=(x1+x2)/2;

  if (f(xn)==0) break

    elseif (f(x1)*f(xn))<0

    x2=xn;

  else

    x1=xn;

  endif

endfor

xr=xn;

vf=f(xn);

endfunction

Solución al P2 de Javier Contén: Javier ha escrito un algoritmo en Octave que resuelve este problema por el método de Newton Rhapson. El método sólo necesita 4 iteraciones para llegar a la solución. Abajo graficamos la función para verificar que la solución está entre 0 y 1 y por tanto, usaremos un valor inicial x1=0 y kmax=5 (= 5 iteraciones). También incluimos el código entregado por Javier en un programa que envió al grupo en whatsapp que se llama  p2s1.m. La solución es

xs = 0.714168715029389