El 3er parcial.

Respuesta a la 1ra pregunta del examen por Tomás Ndje. En este problema el estudiante confunde la variable independiente, que es t, con la variable dependiente que es x. Luego todos sus cálculos están al revés, aunque la primera y la segunda iteración parecen estar correctas, pero a partir de la tercera ya se evidencia el error. La notación es muy mala.

Respuesta a la 3ra pregunta del examen por Antonio Ekuá. Aunque la pregunta pedía el método unidimensional, él ha usado el método del gradiente y lo ha hecho con sólo una iteración --que ha hecho bien--, con lo que no sabemos si ha llegado al óptimo o no (de hecho no).

Respuesta a la 3ra pregunta del examen por Nazario Ebuy. El estudiante también ha usado el método del gradiente, pero con paso fijo (0.1) que no vimos en clase y para el que hace 3 iteraciones (bien hechas), demostrando que va hacia el mínimo, pero sin ningún criterio de convergencia y los métodos de paso fijo normalmente oscilan. El mejor de los resultados presentados usando gradientes.

Respuesta a la 4ta pregunta del examen por Miguel A. Bueriberi. Usa una especie de método de Euler con aproximaciones de doble paso y se pedía explícitamente el método de punto medio. Además, en su caso, se necesitaba el valor de la función en -1, cuya valor inicial es desconocido y por tanto no se puede resolver, al faltar una condición inicial.

Respuesta al problema 2a por Angel Ateng. Usa el método del gradiente y hace sólo una iteración, que está correcta, pero eso sólo lo mueve en la dirección del máximo y no sabemos, por falta de iteraciones, si ha llegado o no. ¿Cómo validaría la convergencia?

Respuesta por RK4 del estudiante Leonardo Salomón Sobé. La primera iteración está correcta, en la segunda iteración, aunque las derivadas de Runge Kutta están correctas (salvo pequeños errores numéricos), al calculo de y(0,4) está equivocado, debería ser y(0.4)=3.6008 y de allí en adelante siguen los errores. Lo más sorprendente es que la función de y exacta debería dar y(0.4) = 3.6051, pero él lo coloca también mal calculado. Es posible que la función utilizada no sea la misma. Como los cálculos tienen errores numéricos, no es posible establecer algún parámetro para el error.

Respuesta por Euler del estudiante Filiberto Ndong. Los cálculos para los nuevos puntos están correctos, no así el error, que no se calcula contra el valor real (en cuyo caso sería de 34,8%). El error que presenta es el error absoluto y, la justificación del error no es la acumulación del error, sino que la curva es convexa y por ello, como usamos la tangente para estimar el nuevo valor, la curva siempre estará por encima de la recta tangente. Por otra parte, en Métodos Numéricos, el error útil no es el absoluto, sino el relativo (%) porque la dimensión de las variables cuando se manejan números absolutos, puede ser muy grande, lo que haría realmente difícil hacerse una idea de lo importante del error (1% de 1.000.000 es mucho más grande que 1% de 0.1, pero en ambos casos la dimesión relativa es la misma, 1%)

Respuesta por el método de punto medio de Aparicio Mba. La primera iteración está correcta, pero de allí en adelante se aplica mal el método. Así, en la iteración 2 (ó b), aunque calculó bien en la 1ra iteración y de medio paso (1.994) en la segunda coloca 1.98 (¿?), después, ese punto se caalcula en medio paso desde donde estás (0.1) pero el lo coloca en el instante de tiempo 0.3 y por último deja constante la derivada en el punto medio (4.9663) y en realidad va cambiando con el progreso del algoritmo.

Al inicio de la simulación habrán 10 antílopes y 2 gatos

El 2do examen parcial.

Solución del problema 1 por Miguel Rienó. Miguel hizo muy bien en hacer una parábola que pasase por los 3 puntos pero se equivoca en el x3 que es 74 y no 98. En cualquier caso, aunque hay un error numérico, el método es impecable. Quizás algún otro, hubiera usado la fórmula de Miguel para calcular la velocidad en x3 = 74 y eso le daría un estimado de la velocidad en cada punto medido. 

Solución del 3er problema del examen por Nazario Evuy. Aunque sus cálculos están correctos, está claro que la mejor aproximación NO es una recta sino una exponencial, una potencia o una parábola. Para un trabajo de casa ha debido incorporar alguno de esos modos de cálculo.

A un cohete que coloca satélites en órbita, se le han tomado los siguientes datos:

a) Calcule la velocidad y aceleración en cada momento usando (si se puede) las fórmulas de       diferencias divididas hacia adelante, hacia atrás y centradas. (un problema de semana)

b) Ajuste un polinomio de orden 3 por regresión para la tabla dada y calcule las velocidades y aceleraciones en los puntos dados. (un problema de semana)

c) Ajuste Splines para cada segmento y calcule las velocidades y aceleraciones en los puntos dados. (un problema de semana)

a) Calcule la integral numérica usando el Método del Trapecio y de Simpson de las siguientes funciones. En la (e) hay un error. Es -x2/2.

Solución del problema (a) por Tomás Ndje. Aunque su cálculo de la integral exacta da una solución correcta, no lo está la forma en la que elimina el infinito. Ha debido unir las dos integrales mediante sus logaritmos y luego evaluar. Sin embargo, no se pedía integral exacta sino Trapecio y Simpson. En ambos casos elimina el ∞  y lo recorta a un valor arbitrario, por eso siempre le da menor. Ha debido manejar la integral impropia con el cambio x=1/t, quedando el intervalo en "t" entre 0 y 1/2.

Solución del problema (d) por Antonio Ekuá. Antonio, igual que su compañero Tomás, acota el ∞ y lo pone en un número arbitrario, en este caso 10. Lo que tenía que hacer es dividir el intervalo, por ejemplo, entre -2 y 2, esa integral calcularla por Simpson o Trapecio. Luego en el intervalo 2 a ∞  hacer un cambio de variable x=1/t, con lo que la nueva integral también podía hacerla por Simpson o Trapecio ya que el nuevo intervalo sería 0 a 1/2.

b) Calcule la integral, tanto por el método del Trapecio como por el de Simson, de h dado por la tabla:

c) Calcule la integral de la función que se da a continuación. Tanto por el método del Trapecio como por el de Simpson. Compare sus respuestas con el valor verdadero que es 0.602298.

Respuesta problema (b) por Aparicio Mba. La solución presentada está correcta.

Respuesta problema (c) por Filiberto Obiang. La metodología está bien, pero los cálculos numéricos están equivocados en ambos métodos (Trapecio y Simpson). En el primer caso la integral da It= 0.5598 con un error del 7,6% y en el segundo caso Is=0.5774 con un error del 4,3%

Respuesta al problema (c) por Angel Ateng. El problema ya había sido entregado y corregido a Filiberto Obiang por lo que no valdría como Trabajo Práctico, pero además no hay ningún esfuerzo por explicar lo realizado, por ejemplo, ¿quién es f(x)?, ¿cómo saca que h=0.1?, la fórmula está en código Octave, más no la definición de la función f(x), lo que debería estar como parte del código. Además, el código no funcionaría porque habría que definir x=[x_0,...x_10] y entonces sum(x).

En el archivo  internet_usage.csv, faltan algunos datos que se muestran como "..." Para algún país de su preferencia, y que reserve para Usted en la lista de Whatsapp del curso, ajuste ese dato usando tanto una recta, una parábola y una Spline. Grafique la curva año vs uso de internet e indique cuál de las 3 interpolaciones considera mejor. Justifique su respuesta.

En el archivo internet_usage.csv se encuentran las estadísticas de uso del internet desde el año 2000 hasta el 2023.

(a) Escoja el país de su preferencia que tenga datos completos (del 2000 al 2023) y ajuste primero una curva de ajuste mediante regresión lineal o cualquiera de las formas que pueden linealizarse (una recta, una potencia, una exponencial, una de saturación) y luego una parábola. ¿Cúal de las dos ajusta mejor la curva?. Cada estudiante con un país distinto. ¿Cuál es la proyección de uso del país en el año 2025?.

(b) ¿Podría usar la función logaritmo descrita más abajo? Úsela en este ejemplo y compárela con la de saturación. Un país por estudiante.

Nota 1: El estudiante hace sólo un país y sólo un apartado (a ó b).

Nota 2: aunque Octave puede leer archivos csv, por ejemplo x=csvread("internet_usage.csv"), no le recomendamos que lo haga en este caso porque en algunos números han olvidado la coma "," (en realidad el punto "."). Por eso, le sugerimos que baje el archivo, lo abra con excel y copie manualmente los datos del por ciento de población o copie de excel, luego de haber colocado los puntos que faltan. El vector de los años lo genera como x=2000:2023;

También si se usa el comando csvread, los campos con letras no serán leídos y Octave colocará un cero en esa posición. En todo caso si alguien lo quiere como variable de Octave, se lo puedo facilitar.

Si tiene alguna duda, contacte al profesor.

Solución para Francia de Leonardo Salomón. La presentación de este trabajo como un informe está impecable y la puedo poner de modelo sobre cómo presentar un informe. El hizo regresión lineal con una fórmula equivocada, además de que la notación equivoca el uso de los promedios con los elementos de un vector. Para la regresión lineal los verdaderos parámetros son a1=2.86333 y a0=-5.693.333. La regresión parabólica sí está bien y en las Splines suponemos que uso un programa para calcularlas, pero no es lo que se busca en las tareas, sino que la persona aplique las fórmulas y resuelva (usando algún programa como Octave) el sistema de ecuaciones que resulta. Lo más importante en este caso es formular el sistema de ecuaciones. De manera general, debo decir que para disminuir los problemas numéricos yo hubiese usado los años desde 00 hasta el 23. Además, es obvio que ni la parábola ni la recta son unos buenos estimadores para predecir en estos casos (las splines no sirven para predecir). De modo que hubiese podido a la luz de sus resultados cambiar por una con saturación como y_sat o y_log

El 1er examen parcial. Un apartado (a) ó (b) ó (c) ... por problema por estudiante.

solución del problema 2 por Filiberto Ndong. Muy buen trabajo

Los problemas del 1er examen de hace 2 años. Para el 1er problema use uno de los métodos (Newton, Falsa Posición, Secante, Bisección o Muller) y para la parte (a), (b) o (c).

Para el segundo problema, resuelva o por Eliminación de Gauss, o Gauss Jordan o por Descomposición LU.

En el 3er problema use Descomposición LU.

Solución del 1er problema por Miguel Angel Riebo. El el apartado (a) se equivoca en la primera iteración. Ha debido calcular f(-1) y no lo hace, se queda con el intervalo [-2,0], en lugar de [-1,0]. El resto de iteraciones sí están bien. En el apartado (b) la fórmula que escribe es muy incorrecta, debería ser xi+1 = xi - f(xi)/f'(xi). Y los cálculos numéricos están equivocados (aunque no parece que por el error de fórmula), luego no avanza hacia 1.3213 donde está la solución. En el apartado (c), aunque la fórmula sigue mal descrita, los cálculos son más afortunados pero aún no precisos (errores que no podemos entender), la solución siendo 0.8714.

Solución del 2do problema del examen por Tomás Ndje. La solución está correcta, usó Eliminación de Gauss Jordan.

1) Halle f(x)=0 y f(x)=2,  de las siguientes funciones (use uno de los métodos dados en clase: Bisección, Falsa Posición o Newton Raphson). Un problema y tipo por estudiante

1. f(x) = e0.5x-5+5x

2. f(x) = e-x+4x3-5

Solución del problema 1 de Leonardo Salomón. La solución está correcta en ambos casos. Como observación señalamos que en el segundo caso (f(x)=2), en realidad no está el error en el orden de 10-6, sino en el orden de 10-5. También que si da una tolerancia de 10-6, debería mostrar al menos 6 decimales en la solución. Las soluciones son: f(x) = 0 es x= 0.714168715030296 y un error del orden de 10-6  y f(x) = 2 es x = 1.060182526794387 que se obtiene con una iteración adicional y un error del orden de 10-11 

Solución del problema 1 por Bisección de Aparicio Nguá. El problema tiene errores numéricos desde el principio en la parte (a). En la primera iteración, cuando hace f(xl=0)f(xn=1) le da -4.8 y en realidad da -6.59 y ya en la 2da iteración f(xl=0)f(xn=0.5) da 4.86 y no lo que él dice que es -2.08. Peor aún, con sus resultado (negativo) debió haberse quedado con el intervalo (0,0.5) pero, sin ninguna razón técnica, cambia al intervalo (0.5, 1), el que de paso era el correcto, y persiste en el error numérico f(xl=0.5)f(xn=0.75) le da -0.1 y debía ser -0.249. En el apartado (b) se equivoca en la nueva función, ya de comienzo, dice que es g(x)=exp(0.5x)-3+5x y debería ser exp(0.5x)-7+5x.

Solución del problema 2, por Newton Rhapson de Antonio Martín Ekua. El problema está bien en los dos apartados, pero en el segundo (f(x)=2), tiene un error numérico en la segunda iteración. La respuesta es x=1.1873 y ha debido ir hasta un error de menos de 10-4 .

Solución del problema 2, por Newton Rhapson de Angel Ateng. El problema está repetido, y realiza muy pocas iteraciones. En la parte (b) (f(x)=2), repite el punto de la primera iteración 2 veces. Soluciones muy pobres y problema ya hecho por otro estudiante.

Solución por Nazario Ebuy.  El problema, tal como formulado tiene errores en los voltajes de malla que el estudiante Ebuy pudo resolver muy bien. La respuesta dada es correcta

El tercer parcial. 

Nota 1: La última fecha de entrega de tareas es el sábado 25 de enero. Sólo los problemas de la semana 11 en adelante.

Nota 2: El número mínimo de iteraciones es 5 o demostrar convergencia con epsilon < 0.0001 si se hacen menos iteraciones.

Soluciones:

Solución del 1er problema, intervalo [0,1], paso h=0.25, y(0)=1 y método de Heun, por Samsón Obama. Solución correcta.

Solución del 1er problema, intervalo [0,1], paso h=0.25, y(0)=1 y método de Ralston, por José Dougan. Solución correcta.

Solución del primer problema por RK4, [0,1], h=0.25 de Dionisio Bacale. El problema está muy bien. En la segunda iteración se equivoca al calcular k4 (puso 0,97787 y era 0,7787), de ahí en adelante los resultados fallan. Pero el procedimiento muy bien.

Solución al 1er problema RK4, [0.6, 1], h=0.1 de Idelfonso Bakale. Tiene varios errores de fondo de forma sostenida. Primero al calcular k2 y k3 debe usarse el x del medio paso adelante y nunca lo hace. Luego en el k4 lo calcula como si fuese la y del final del intervalo.

Solución al 1er problema por Heun [0.6, 1], h=0.1 de Ma José Toichoa. Solución correcta.

Solución del 1er problema por Ralston [0.6,1], h=0.1, por Tomás Ndjé. A partir de la 3ra iteración comienza a tener pequeños errores numéricos que se van acumulando, pero el procedimiento está impecable.

Solución al 1er problema del examen por Euler de Félix Mba. En realidad en el examen no se pedía resolver por Euler y ha cambiado el intervalo de integración.

Solución del 2do problema por NR con punto inicial 1, por Justa Javier Rioso. El problema está correcto pero sólo hizo 3 iteraciones. Tiene algunos problemas con los símbolos de las ecuaciones (las potencias).

Solución del 2do problema por NR con punto inicial 1, por Evangelina Nzang. El problema está correcto pero está repetido con el de Justo Javier que lo entregó antes. También, con NR no importa si es máximo o mínimo. El encuentra cualquiera, de modo que no había que cambiar el signo de la función.

Solución del 2do problema por método de la parábola con puntos [-1, 0.5, 1], por Isaí Anvene. Su cálculo de la parábola es original (y bueno), su primer punto está bien calculado, pero el valor en ese punto está mal calculado y de allí en adelante sigue teniendo problemas numéricos. El orden de los puntos en la segundo iteración está mal (tienen que ir en orden creciente) y ya no hace más iteraciones luego no podemos saber cómo escogería el nuevo intervalo. Sólo hace 2 iteraciones.

Solución 

Solución del punto 1 por el método de Búsqueda Dorada por Feliciano Nsué. Usa el programa de Octave enviado a la clase para resolver el problema pero no explica nada de él. No hace ni una iteración para demostrar que sabía cómo se hace una iteración. Y muestra una Tabla donde no se sabe qué es cada columna ni cómo evoluciona el algoritmo hacia la solución.

Solución del punto 2, por el método de la parábola por Feliciano Nsué. La fórmula que escribe para el x3 está mal y usa el programa de Octave enviado a la clase para resolver el problema, cambiando el intervalo de búsqueda sin verificar si el mínimo estaba allí o no. No hace ni una iteración para demostrar que sabía cómo se hace una iteración.

Soluciones a las 3 partes (1,2,3) por Martín Suga. Lo primero es que resuelve otro problema y en lugar de 16/x, él resolvió con 10/x. Por otro lado sólo incluyó tablas y no fue construyendo iteración por iteración, de modo que es difícil identificar dónde están los errores numéricos, que de seguro los hay porque el mínimo está entre 1.3 y 1.4. No obtuvo ese resultado con ningún método, lo que es sorprendente. En el método de la búsqueda dorada, d=(sqrt(5)-1)/2=0.618. Él también tiene esa fórmula mal.

Solución del problema 1a por Cristino Ondó. Solución correcta pero no llegó a 5 iteraciones.

Solución del problema 1b por Cristino Ondó. Tiene errores numéricos importantes desde la segundo iteración.

Solución del problema con un paso de 0.01 por Angela Anguesomo. En realidad, el problema que resuelve es dy/dx = 6y. Como el intervalo de integración es muy pequeño, las diferencias entre la realidad (e^x) y lo que ella tiene (e^(6x)) es pequeña. Pero definitivamente eso no funciona. 

Solución del problema 1b por Eusebio Michá. Además de que está repetido (Ya lo había hecho Cristino Ondó), tiene errores de fondo importantes. Por una parte, para calcular las K en la fórmula incluye el paso (h) que no va. Luego, no calcula la y al final del intervalo (o paso), lo que necesita para calcular K2. Hace muy pocas iteraciones.

Solución por el método de punto medio (problema 1c) de Miguel Ndong. Confundió la x con la variable independiente cuando en realidad es la variable dependiente (x=f(t)) y su punto de inicio era k1=0.05*50 (x0=50). De allí en adelante persiste en la confusión. 

El segundo parcial.

Solución a la pregunta 1.a por Tarcisio Otogo. La linealización no está correcta, al tomar logaritmo neperiano, le debería quedar lineal en (ln(y),x).

Solución de la primera pregunta (b) por Lagrange orden 2, resuelta por Cristino Ondó. Bien resuelta.

Solución de la pregunta 1.c por Donato Nguema. Tiene un error numérico en la que llama A1.

Solución de la pregunta 1.c por Idelfonso Bakale. Está correcta.

Solución a la pregunta 1.c por Félix Mba. Está correcta

Nota: Cuando le pidan polinomios de Newton puede usar polinomios de Lagrange. 

1. Problemas 4 y 5 de la Guía de Métodos Numéricos (páginas 10 y 11). Uno por persona

2.  Cuestionario 4 de la Guía de Métodos Numéricos (página 24). Todas las preguntas una persona

3. Actividades 1 a 7 de la Guía de Métodos Numéricos (páginas 24 y 25). Una por persona

4. Problemas 2 al 7 y 9 y 10 de la Guía de Métodos Numéricos (página 26). Uno por persona

5. Actividades 2 a 7 de la Guía de Métodos Numéricos (páginas 27 y 28). Uno por persona

6. Problemas 1 al 3 de la Guía de Métodos Numéricos (páginas 28 y 29). Uno por persona

7. Cuestionario 6 de la Guía de Métodos Numéricos (páginas 29 y 30). Todas las preguntas una persona

8. Problemas 1 al 9, 11 y 12 de la Guía de Métodos Numéricos (páginas 30 y 32). Uno por persona

9.  Problemas 1 al 6 de la Guía de Métodos Numéricos (páginas 32 y 33). Uno por persona

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Solución a los problemas 4 y 5 del punto 1 de José Dougan. El problema 4 está completamente malo porque intercambió donde debía ir "x" puso "y" (=f(x)) y al revés. Ese no lo evaluamos. En el problema 5, de nuevo se equivoca, sustituye x por ln(K). K es nuestra incógnita y los datos deben trabajarse con x vs ln(y).

Solución a la Actividad 5 del punto 3 por Andrés Bopa. Excelente trabajo.

Solución a la Actividad 6 del punto 5 por José Nguema. Lo primero es que escribe mal la fórmula de potencia que es y=a*x^b, pero él la escribe con (-) aunque al aplicar logaritmo lo corrige. El logaritmo está bien. Luego, aparentemente (porque no escribió la tabla), hace los cálculos con x e y, aunque en realidad son con Ln(x) y Ln(y). Luego los resultados están equivocados. Los resultados correctos son Ln(a)= 7.38 y b=0.4575.

Solución del problema 6 del punto 4 por Dionisio Bee usando polinomios de Newton de orden 2. Tiene un error en la diferencia dividida que debe usar para una parábola (que es lo que él usa para interpolar).

Solución del problema 7 del punto 4 por Dionisio Bee usando polinomios de Lagrange de orden 3.  El problema está correcto.

Solución del problema 6 del punto 4 por Ma. José Toichoa usando polinomios de Lagrange de orden 2. Está correcto.

Solución del problema 7 del punto 4 por Ma. José Toichoa usando polinomios de Lagrange de orden 3. Está correcto.

Solución a la Actividad 7 del punto 5, por Tomás Ndje. Tiene muchos errores numéricos y/o de aplicación de la fórmula. La matriz de incógnitas debería ser: X=[6 6 24; 6 10 28; 24 28 116];

Solución al problema 9 del punto 8 por José Nguema. Aunque no la contaremos como tarea. La solución que se pedía era por el método de Simson y por una parte hace el trapecio, por la otra la suma le da cero, lo que es imposible. No hace tabla para verificar dónde está el error.

Solución al problema 1 del punto 9 por Evangelina Nzang. Está correcto y muy buena su implementación dado que los saltos en x no son constantes.

Solución al problema 2 del punto 9 de Nazario Obuy. El problema con 2 intervalos (h=0.5) lo hace bien, pero con 4 (h=0.25) lo hace muy mal. La fórmula es en, en este caso: A=(f(x0)+4(f(x1)+f(x3))+2f(x2)+f(x4))*.25/3

Solución al problema 4 del punto 9 por Angela Angesomo. Muy bien realizado.

1. Problemas 21.1 al 21.13 del Chapra y Canale. Un problema por estudiante.

2. Problemas 23.1 al 23.14 del libro del Chapra y Canale. Un problema por estudiante.

1. Problemas 18.5 al 18.30 del libro del Chapra y Canale. Un problema por estudiante.

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Solución del problema 18.7 de Samsom Alogo. Aunque el problema está bien resuelto, los puntos escogidos no lo están porque se pedía el valor estimado en f(4) y en ningún caso los puntos son los correctos. El 4 no queda para interpolar sino para extrapolar.

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2. Se sometió a prueba un grupo de camiones ligeros con motores que utilizan diesel como combustible para saber si la humedad, la temperatura del aire y la presión barométrica influyen en la cantidad de óxido nitroso que emiten (en ppm). Las emisiones se midieron en distintos momentos y en diversas condiciones experimentales y se muestran en la tabla siguiente. Calcule la regresión lineal múltiple para este problema. y (óxido nitroso), x1 (humedad), x2 (temperatura) y x3 (presión).

Solución al problema 2 por Donato Mba Nguena. Aunque la presentación está un poco difícil de seguir en las matrices, el resultado es correcto.

3. Se cree que la energía eléctrica que una planta química consume cada mes se relaciona con:  la temperatura ambiental promedio, (x1); el número de días del mes, (x2); la pureza promedio del producto, (x3); y las toneladas fabricadas del producto, (x4). Se identifica a y como el consumo de energía eléctrica. Se desea que encuentre la expresión de regresión lineal múltiple con los datos medidos que se muestran en la tabla siguiente.

Solución del problema por Isaí Anvene. Excelente trabajo.

1. Problemas del 17.6 al 17.20 del libro de Chapra y Canale. Un problema por estudiante.

2. Problemas 5.1, 5.3, 5.14, 5.15, 5.18 y 5.19, del libro de Nieves y Dominguez. Un problema por estudiante. Cuando le pidan polinomios de Newton puede usar polinomios de Lagrange.

Solución de los Problemas 17.12 y 13 del punto 1, por Miguel Ángel Ndong. Ambos están bien, pero no calcula uno de los parámetros que se pedían (aunque el cálculo de la y está bien).

Solución del problema 17.20 del punto 1 de Samson Alogo (segunda página). Aunque la tabla generada para la regresión está bien. Hay errores numéricos. la solución es: a= 604.09, b= -233.96, c= 674.01.

Solución del problema 5.14 del punto 2, por polinomios de Newton por Eusebio Micha. Muy buen trabajo. Hizo un polinomio de Newton de orden 6, con diferencias divididas muy bien manejadas. Normalmente, un polinomio de orden 3 es suficiente, o splines.

Primer parcial (22/10/24). Observe que se desea un error menor a 0,0001 en la solución del primer problema.

Solución al problema 2 del examen por Samson Obama. Está correcto

Solución de los puntos 1, 2, 3 de J. J. Rioso. Sólo hizo 3 iteraciones. Para las tareas hay que llegar a la solución con una tolerancia de al menos 0,01%.

3. Resuelva el problema anterior por el método de Gauss Jordan y determine la inversa de la matriz de coeficientes (Si Ax=b se quiere el inverso de A) y la factorización LU de la misma matriz (A).

Repita el problema 1 para las siguientes funciones. Tengan en cuenta que para estas funciones el intervalo NO es el mismo del problema 1. De modo que la gráfica es muy importante para ubicar algún cero :

4.    f(x) = 2x3-11.7x2+17.7x-1

5.    f(x) = e0.5x-5+5x

6.    f(x) = sen(x)+cos(1+x2)-1

7.    f(x) = 7e-xsen(x)-1

8.    f(x) = 0.0074x4 - 0.284x3 + 3.355x2 -12.18x+5 (calcular raíz entre 15 y 20)

9.    f(x) = π x2 (3 - x/3) - 30  (x positiva)

10. f(x) = x2 +1 - 2cos(x)  (raiz positiva)

Problema 4 resuelto por Bisección por Narciso Yamba. En realidad no ha usado el algoritmo de bisección bien. Se ha limitado a escoger un intervalo ([-1,0]) y luego dividir sucesivamente ese intervalo en 2. Pero resulta que no hay cero entre [-1,0] de modo que nunca iba a conseguir una solución por allí. El único cero está en la parte positiva, cerca del 0.059.

Problema 4 resuelto por Newton Raphson de Cristino Ondó.  El procedimiento está correcto pero el punto de inicio no bien escogido. En la gráfica que suministra (bien hecha) se ve que el cero está entre [0 - 0.5]. Con cualquiera de esos dos puntos se llega en 3 iteraciones a la solución (alrededor de 0.059). Al comenzar en 2 el NR hace ciclos y nunca llega a la solución. También hizo Muller que no hemos evaluado porque está mal la actualización que, por alguna razón deja constante (0.307) y no actualiza de iteración a iteración.

Problema 4 resuelto por Falsa Posición por José Nguema. El polinomio que dice que resuelve no es el correcto, aunque luego usa el correcto para los cálculos. La fórmula de Falsa Posición que dice que usa tampoco es correcta aunque luego usa una que es correcta salvo en el signo [debería ser xn=(x1*f(x2)-x2*f(x1))/(f(x2)-f(x1))], y por último, sólo hace una iteración. Se quería una tolerancia de 0.0001.

Problema 6 resuelto por Bisección, por Donato Mba. La función que tiene en la gráfica se corresponde con el problema 6, pero la que dice que resolvió es: sen(x)+cos(1+x2), le falta un "-1". Sin embargo, los cálculos no se corresponden a ninguna de las dos funciones. En función de lo que dan sus cálculos hace bien la selección del nuevo punto del intervalo de la Bisección, pero la solución en el caso con el -1 está alrededor de 1.9 y sin el menos 1 alrededor de 1.4 y 1.5.

Problema 6 (no) resuelto por Newton Raphson de Idelfonso Bakale. Este es un problema particularmente sensible al punto inicial cuando se trabaja con NR. El estudiante escogió un muy mal punto de inicio porque no hizo ninguna gráfica del problema. De haber visto la gráfica, hubiera escogido un punto más cercano (hay muchas oscilaciones), por ejemplo 1.7, con el que en dos iteraciones ya llegaba a la solución. Además sus cálculos están equivocados. La solución está cerca de 1.9446.

Problema 6 resuelto por Falsa Posición por Nazario Evuy. El problema está bien resuelto usa buenos puntos y buenos cálculos. No termina. Se deseaba un error de menos del 0.01% y el de él es mayor al 14%.

Problema 8 resuelto por Bisección por Angela Anguesomo. Había muchos ceros, uno entre 0 y 5, otro entre 5 y 10 y otro entre 15 y 20. El problema, aunque bien formulado tiene muchos errores numéricos. De hecho, a ella siempre le dan negativos ambos extremos del intervalo, luego no tiene intervalo para iterar nunca. Pero la realidad es que en 15 es negativo y en 20 es positivo, luego en realidad sí podía iterar. Así continúa con acierto hasta 19.375, allí, de nuevo, ese valor es positivo y debió quedarse con 19.375 y 18.75.

Problema 8 resuelto por Newton Raphson por Félix Mba. Lo primero es que cambia los parámetros del polinomio a: 0.00074, 3.3355 y 12. Pero aún con eso sigue habiendo una raíz alrededor de 0.4775. Todos los cálculos que implicaban división de dos número negativos están malos (menos entre menos DA más). Al arrancar en 1, si los cálculos estuviesen bien habría llegado en 3 iteraciones a la solución.

Problema 8 resuelto por Bisección por Felipe Ngua. Lo primero es que cambia los parámetros del polinomio a: 0.00074, 3.3355 y 12. Pero aún con eso sigue habiendo una raíz alrededor de 0.4775. El procedimiento está bien, con algunos errores de cálculo y no llegó a la raíz deseada: Le faltaron unas 3 ó 4 iteraciones. Como ya estaba hecho por NR y Bisección, debió usar algún otro método.

Problema 9 resuelto por Bisección por Isaí Anvene. Tiene algunos errores de tipeo pero el ejercicio está bien. No llega al resultado en 20 iteraciones probablemente porque usa pocos decimales. Con 6 decimales en 19 iteraciones hay solución.

Problema 9 resuelto por Newton Rhapson por Andrés Bopa. Lo primero es que se dijo en el grupo que los límites se referían solamente al problema 1 y además, de su propia gráfica se observa claramente que no hay cero entre [-1,2]. Con Newton Rhapson, comenzando en 1.5, en 3 iteraciones se llegaba a la solución que está alrededor de 2.027.

Problema 10 resuelto por Newton Raphson, por Eusebio Michá. Tiene muchos errores de cálculo y en la forma en la que calcula el error.

Problema 10 resuelto por Muller, por Tomás Nojé. Escogió mal los 3 puntos porque la diferencia x2-x1 y x1-x0 da igual (0.5) y hay una fórmula que resta esos dos puntos lo que da un cero en el denominador, de paso el la fórmula la hace mal (suma) para evitar el cero. Además, los cálculos de f(xi) están malos todos y sólo hace una iteración y se buscaba el resultado con una tolerancia menor a 0.0001.

Problema 10 resuelto por Bisección por Evangelina Nzang. El ejercicio está bien (aunque se pedía la raíz positiva y una gráfica hubiese ayudado mucho a la búsqueda de esa raíz)

Otros problemas asignados en cursos anteriores pero NO válidos para este curso.

Carmelo Idjabe resolvió el problema del curso anterior (25 al 29 de septiembre) que además ya estaba resuelto y publicado. No vale como trabajo de este curso.

Feliciano Nsué resolvió el mismo problema del curso anterior (25 al 29 de septiembre) que no había sido resuelto. Se equivoca escribiendo la matriz A (a(1,3)=-1), que luego, sin explicación corrige. También escribe las matrices L y U y no dicen cómo las calcula y, de nuevo, en L se equivocan en la L(3,2) (que es -0.8/5.4=-0.1481), pero además, la inversa de la matriz se debía calcular con las matrices L y U en dos problemas de eliminación de Gauss.También hay un error muy importante, la inversa de A es: inv(A) = inv(U) *inv(L) --porque A=LU. Tampoco dice cómo calcula las inversas de L y U que debió hacerse entonces siguiendo el mismo método. 

El examen final.

Solución pregunta 2 de Diosdado Burelepe. En el cálculo de y para x=3.85 al final de la parte (a), debió usar el ln(x) o ln(3.5) pero usó el valor de 3.5 lo cual es incorrecto.

El tercer parcial. Hay que resolver en todo el intervalo de integración. No sólo 3 iteraciones. Use Octave

Solución problema 1, Justo Bacale. Excelente código Octave de solución.

Solución problema 2, Diosdado Burelepe. Sólo hace 2 iteraciones, no hay código Octave y Delta_x es en realidad Delta_t.

Solución problema 3 Justo Bacale. No incluyó en la formulación del problema ninguna penalización por exceder los 2 Kg. Sólo hizo dos iteraciones.

1. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales que se muestra a continuación para t entre 0 y 5. Asuma que x1(0)=0; x2(0)=1. Escoja un paso de 0.1. Use RK4.

2. Resuelva el problema del Agente Viajero (TSP) que se muestra en la figura. Asuma que siempre sale de LA y debe regresar a LA sin pasar más de una vez por ninguna ciudad. Use 0.1 para decidir permutar y seleccione un punto de corte al azar. Seleccione de la misma forma que trabajamos en clase para las repeticiones y haga evolución continua.

3 Resuelva el sudoku que se muestra a continuación usando algoritmos genéticos

Resuelva la ecuación diferencial siguiente para valores de x en el intervalo [-0.9, 0.9], cuando y'=-x/y.

1. Ralson y Condición Inicial (-0.9, 0.4359)

2. Heun y Condición Inicial (0.9, 0.4359)

3. RK4 y Condición Inicial (-0.9, 0.4359)

4. RK4 y Condición Inicial (0.9, 0.4359)

Solución (1) por Joaquín Linus. El programa de Octave mostrado no funciona. Tiene una serie de errores como por ejemplo nunca actualizar (x0,y0), usar siempre y(9) que no se sabe qué es (debe dar error allí) y el uso de paréntesis y corchetes está mal.

Solución del punto 4 por Donato Owono. Sólo hace una iteración, la fórmula para calcular las k no está correcta porque no incluye el paso, calcula los valores en puntos fuera del intervalo deseado y no hay programa en Octave.

Solución (3) por Justo Bacale. Muy buen código de Octave.

El segundo parcial. Acá.

Solución problema 1, José Monsuy. Linealización del problema correcta.

Solución problema 1. Armando Ikako. La solución no es correcta porque en la linealización propuesta, la variable independiente no lo es en realidad por ser un cociente de ella misma con la variable dependiente. Sin embargo, la propuesta es muy original y la razón del no funcionamiento no fue incluida en la explicación de la linealización. Esperamos que algún estudiante presente la solución correcta.

Solución al problema 2. Cristo Belarmino. El problema tiene varios errores. El primero, de concepto. Se estaba buscando el valor de k para c=2. Los valores de a0, a1 y a2 están bien, pero hay una confusión muy grande en los de x. x0=1.5; x1=2.5 y x2=4. A partir de allí, tampoco se entiende por qué quiere calcular en x=2.5. En ese punto, si estuviese bien aplicada la fórmula, debería dar k=7.6, lo que ya sabíamos de antemano.

Solución del problema 4 del examen por Donato Esono

Los problemas de esta semana son los mismos que aparecen en los vídeos de los Apuntes de Clase, items del 12 al 22.

Solución item 13 Problema 45. Donato Esono. Enlace al vídeo de YouTube. No hay código Octave ni ninguna explicación del problema que resuelve.

Solución item 13 Problema 46. Herculano Nguema. Enlace al vídeo de YouTube. No hay código Octave.

Solución item 13 Problema 48. Armando Ikako. Enlace al vídeo de YouTube. No hay código Octave.

Solución Joaquín Linus. Item 13, problema 47. Enlace el vídeo de YouTube. Muy buena respuesta.

Solución item 13 problema 51, Sergio Nsué.

Problemas de la semana 6 (23 al 27 oct): 

Solución del problema 5.6 por Sergio Nsué. La respuesta es en realidad 5.69. Y no se intercambian los roles de la variable dependiente e independiente, sino que se obtiene el polinomio correcto con la variable independiente dada (el tiempo) y de allí se encuentra el cero de la función con cualquiera de los métodos vistos en clase.

Solución del problema 17.15 por Sergio Nsué. Sergio en realidad no respondió a la pregunta, que era ajustar una curva de la forma y=a+bx+c/x (encontrar a,b,c) y ajustó una curva y=a+bx.

Problemas de la semana 5 (16 al 20 oct): El primer parcial.

A) La tabla la interpretamos de la forma: Para producir una cartera se necesitan 2 unidades de tela, 2 de cremalleras y 1 de accesorios. Escriba el sistema de ecuaciones que modelan al sistema y encuentre la cantidad de carteras, mochilas y accesorios que se producirán con las unidades disponibles de tela, cremalleras y accesorios usando Eliminación de Gauss.

B) Se ha cambiado el modelo de Mochilas y sólo se necesita 1 unidad de Cremalleras en lugar de las 8 anteriores. También se han cambiado las Correas y ahora sólo se necesita por cada Correa, un accesorio. ¿Puede encontrar la cantidad nueva de Carteras, Mochilas y Correas? ¿Qué está pasando ahora?

C)  Calcule la solución de (A), por el método de Gauss Jordan. Haga lo mismo con el problema en B.

D) Calcule la solución de (A), por el Método de Gauss Sidel. Haga lo mismo con el problema en B.

E) Haga la factorización LU de la matriz de incógnitas de (A) y encuentre su inversa usando esa factorización. Intente hacer la factorización de (B). ¿Qué ocurre?

Sea A={aij}  la matriz de 3x3 tal que aij= α si i=j, y aij= 1 si i ≠ j. Escriba la matriz a de forma explícita y determine los valores de α que hacen a la matriz invertible.

Solución de Herculano Nguema de la parte (a). Tiene un error porque entra a iterar con 0.3 en grados y es en radianes. Los cálculos en Ingeniería, en general son en radianes. No calculó el error para determinar convergencia y no incluyó el código de Octave para resolver el problema. Tampoco graficó la función. Por último, le faltaron los métodos de la secante y de Bisección.

El código de Octave que crea una función calcnr.m para resolver el problema es:

function [xnr,er,er1] = calcnr(x1,k_max)

%% CALCULA EL CERO DE LA FUNCION f(x) = 7*sen(x)*e^(-x)-1

%% USANDO EL METODO DE NEWTON RAPHSON

%% "er" ES EL ERROR que verifica convergencia y "er1" el el valor de la

%% función f(xnr) en el último x calculado xnr.

%% El valor inicial es 0.3 y las iteraciones

%% son k_max =5

  f = @(x) 7*sin(x)*e^(-x)-1;  %% FUNCION

  df= @(x) 7*e^(-x)*(cos(x)-sin(x)); %%DERIVADA DE LA FUNCION

  xnr=x1;

  for i=1:k_max

    if (df(x1)==0)

      disp("la derivada es cero, comience con otro valor");

      break

    endif

    x1=x1-f(x1)/df(x1);

    er=(xnr-x1)/xnr*100

    xnr=x1

    er1=f(xnr)

    fprintf('---');

    fprintf('\n')

  endfor

endfunction

Después de 5 iterciones el método converge con un error del 3,66x10-10 %  y la función en la solución (xnr = 0.170179993753835) es er1 = 2.220446049250313x10-16 , es decir, prácticamente 0.

La gráfica de la función se muestra abajo. Observen que habiendo comenzado en 0,3 hemos encontrado el primer cero de la función. Hay otro cero positivo y muchos negativos, con la periodicidad del seno.

Solución de la parte (c) de Cristo Belarmino. A partir de la iteración 3 hay errores numéricos importantes. El trabajo es minimalista. No hay enunciado, ni explicación alguna.

Solución de Justo Okié. La matriz que resuelve NO es la matriz del problema (se da arriba de manera clara. ¿Por qué no usa la matriz dada?), y además no indica los pasos que ha seguido para calcular las corrientes.

Para todas las funciones que se muestran a continuación:

1. grafique aproximadamente la función (puede usar Desmos.com en la web. Pulse en Calculadora Gráfica) y haga una captura de pantalla.

2. calcule la primera raíz real positiva con al menos 4 decimales de precisión, por los métodos de Bisección, Newton Raphson y Secante. Para el polinomio en (a), calcule tanto la raíz real positiva, como las dos raíces complejas, por el método de Muller.

3. Calcule el primer máximo en la parte del eje "x" de los reales positivos de las funciones que los tengan.

4. Presente los programas en Octave con los que realizó los cálculos e hizo las gráficas de los puntos 1 al 3.

a. 2x3-11.7x2+17.7x-1

b. e0.5x-5+5x

c. sen(x)+cos(1+x2)-1

e. 7e-xsen(x)-1

Solución de Herculano Nguema. Faltan los apartados (d), (e) y (f).  Sólo a, b y c.

Solución de Armando Ikako. Apartado (e). No calculó la inversa, sólo el determinante.

Solución del P1 de Javier Contén. Sólo el código que corregimos ligeramente

function [xr,vf]= plbisec(x1,x2,kmax)

f=@(x) 2*x^3-11.7*x^2+17.7*x-5;

for i=1:kmax

  xn=(x1+x2)/2;

  if (f(xn)==0) break

    elseif (f(x1)*f(xn))<0

    x2=xn;

  else

    x1=xn;

  endif

endfor

xr=xn;

vf=f(xn);

endfunction

Solución al P2 de Javier Contén: Javier ha escrito un algoritmo en Octave que resuelve este problema por el método de Newton Rhapson. El método sólo necesita 4 iteraciones para llegar a la solución. Abajo graficamos la función para verificar que la solución está entre 0 y 1 y por tanto, usaremos un valor inicial x1=0 y kmax=5 (= 5 iteraciones). También incluimos el código entregado por Javier en un programa que envió al grupo en whatsapp que se llama  p2s1.m. La solución es

xs = 0.714168715029389