Lógica de clases

Introducción

Hay muchas formas de razonar correctamente. Algunas son simples, fáciles de formalizar y demostrar su validez. Otras son más complejas y están más allá de una presentación introductoria como ésta. 

Entre las formas más sencillas de razonar que estudia la Lógica están la lógica proposicional y la lógica de clases.  Cada una de estas dos ramas de la lógica elemental es independiente de la otra: diferentes fórmulas, diferentes conceptos básicos y diferentes técnicas de demostración de la validez o invalidez de los razonamientos. Cada una tiene su área de aplicación; debemos emplear una u otra dependiendo del tipo de razonamiento que debamos analizar.

Conceptos básicos de la lógica de clases

Si la lógica proposicional tiene como conceptos básicos los de variable proposicional y valor de verdad (lo verdadero y lo falso), los conceptos básicos o no definidos de la lógica de clases son otros:

• El concepto de elemento u objeto individual: cualquier objeto que podamos tratar como algo individual y diferente del resto de objetos.

• El concepto de conjunto: cualquier agrupación de elementos, incluyendo la agrupación vacía.

• El concepto de pertenencia de un elemento a un conjunto.

Con estos conceptos es posible analizar y demostrar la validez y la invalidez de cierto tipo de argumentos, distintos a los analizados con la lógica proposicional.

Símbolos y fórmulas

Para escribir las fórmulas de la lógica de clases, emplearemos los siguientes símbolos:

• Elementos: a, b, c, ...

• Conjuntos o Clases: A, B, C, ...

• Pertenencia: ∈

• No Pertenencia: ∉

• Conjunto vacío: Ø

• Intersección: ∩

• Diferencia: −

• Igual: =

• No igual: ≠

Además, cuando queramos agrupar varios elementos en un conjunto, emplearemos las llaves: { , }

Podemos definir un conjunto o clase de dos maneras:

• Extensivamente, enumerando a todos sus miembros. Por ejemplo, el conjunto de los días de la semana: A = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}

• Intensivamente, dando una regla que deben cumplir sus elementos. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales positivos así: N = {a| a > 0}, esta fórmula se lee "El conjunto N es igual a los elementos a tales que a es mayor que cero". 

Mediante los conceptos de pertenencia y desigualdad podemos definir nuevos conjuntos a partir de otros conjuntos ya definidos. Por ejemplo, podemos definir el conjunto de los días laborables (llamémosle B) a partir del conjunto de los días de la semana (llamémosle A) de este modo:

B = {a| a ∈ A y a ≠ sábado y a ≠ domingo}

Esta definición se lee: "B es el conjunto de elementos a tales que pertenecen al conjunto A y no son los elementos sábado ni domingo".

A = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}

Esta definición se lee: "A es el conjunto formado por los elementos lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado y domingo.

También podemos definir el mismo conjunto B de manera extensiva, sin depender de A:

B = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes}

Conceptos derivados o definidos

Empleando los conceptos básicos de la lógica de clases, podemos definir los siguientes conceptos derivados:

• Intersección entre dos conjuntos:

  • La intersección de dos conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por aquellos elementos miembros de A y de B.

  • En símbolos: A ∩ B = {a| a ∈ A y a ∈ B}. Esta fórmula nos dice que: A intersección B es igual al conjunto de elementos a que son miembros del conjunto A y son también miembros del conjunto B.

• Diferencia entre dos conjuntos:

  • La diferencia entre dos conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos de A que no son miembros de B.

  • En símbolos: A − B = {a| a ∈ A y a ∉ B}. Esta fórmula nos dice que: A menos B es igual al conjunto de elementos a que son miembros del conjunto A y no son miembros del conjunto B.

Representación de enunciados

Empleando los conceptos básicos y derivados de la lógica de clases podemos representar el significado de los enunciados que componen los razonamientos de la lógica de clases mediante fórmulas y diagramas. Esto nos permite:

• Expresar de forma más precisa y concisa el significado de los enunciados.

• Demostrar la validez o invalidez de los razonamientos.

A continuación consideraremos varios tipos de enunciados que pueden representarse con los conceptos anteriores:

1. Enunciados que nos hablan de todo un conjunto (finito o infinito) de individuos. Enunciados universales:

   1. 1. Afirmativos: afirman una propiedad de todos  los miembros del conjunto.

      2. Negativos: niegan una propiedad a todos los miembros del conjunto.

2. Enunciados que nos hablan de un individuo (una persona, un objeto) concreto. Enunciados particulares:

   1. 1. Afirmativos: afirman que existen algunos miembros en un conjunto.

      2. Negativos: niegan que existan algunos miembros en un conjunto.

Enunciados universales afirmativos

Ejemplos:

1. Todos los gatos son felinos

2. Las guerras son sucesos históricos

3. El lobo es carnívoro

En cada uno de estos tres ejemplos, aparecen dos conjuntos: el de los gatos y el de los felinos, el de las guerras y los sucesos históricos, el de los lobos y los carnívoros. En general, llamemos a estos dos conjuntos A y B. 

Formalización de los ejemplos: A − B = Ø. Esta fórmula se lee "A menos B es igual al conjunto vacío".

Enunciados universales negativos

Ejemplos:

• Ninguna bacteria es un organismo pluricelular

• No hay ningún camarero simpático

• Nadie con sentido común bebe ron

• No existen hombres inmortales

En cada uno de estos ejemplos aparecen dos conjuntos: el de las bacterias y el de los organismos pluricelulares, el de los camareros y el de las personas simpáticas, etc. En general, llamemos a estos dos conjuntos A y B. 

Formalización: A ∩ B = Ø. Esta fórmula se lee "A intersección B es igual al conjunto vacío".

Enunciados particulares afirmativos

Ejemplos:

• Algunos barcos tienen velas

• Hay camareros simpáticos

• Existen estrellas rojas

• Pedro es un hombre con suerte

En cada uno de estos ejemplos aparecen dos conjuntos: el de los barcos y el de los objetos con velas, el de los camareros y las personas simpáticas, el de las estrellas y los objetos rojos, el de los hombres y las personas con suerte. En general, llamemos a estos dos conjuntos A y B. 

Formalización: A ∩ B ≠ Ø. Esta fórmula se lee "A intersección B no es vacío".

Enunciados particulares negativos

Ejemplos:

• Algunas personas no son afortunadas

• Hay hombres sin suerte

• Existen aviones que no tienen motor

• Juan es un hombre sin suerte

Formalización: A − B ≠ Ø. Esta fórmula se lee "A menos B no es vacío".

RESOLUCIÓN de razonamientos

Una vez tenemos las herramientas para formular y representar gráficamente los cuatro tipos de  enunciados, podemos pasar a representar razonamientos. Esta representación debe servir para resolver cuándo un razonamiento es válido y cuándo no lo es.

Consideremos la siguiente pareja de argumentos:

1. Todos los hombres son mortales. Sócrates es hombre. Luego Sócrates es mortal.

2. Todos los hombres son mortales. Dumbo es mortal. Luego Dumbo es un hombre.

¿Nos convencen los argumentos? ¿Consideramos que las conclusiones son verdaderas si aceptamos como verdaderas las premisas? ¿Nos convence uno de ellos pero no el otro?

Quizá no nos convencen, pero acaso sea debido a que algunas de las premisas son falsas o al menos no estamos seguros de que sean verdaderas. Pero recordemos que la Lógica estudia la relación de consecuencia entre premisas y conclusión: si las premisas fuesen verdaderas, sería necesariamente verdadera la conclusión.

Si nos fijamos en la forma, en la estructura de los argumentos y no en su contenido, en su materia, veremos que ambos argumentos tienen distinta forma lógica.

Hay rasgos comunes en ambos argumentos: hay dos conjuntos y un individuo (un elemento). Pero la forma lógica es diferente. Empleando llaves para agrupar a las fórmulas premisas y el símbolo ⊨ para separar las premisas de la conclusión, podemos representar la forma lógica de ambos razonamientos.

Ejemplo 1. Representación del razonamiento Todos los hombres son mortales. Sócrates es hombre. Luego Sócrates es mortal.

• Conjunto de los hombres: A

• Conjunto de los seres mortales: B

• Sócrates: a

• Todos los hombres son mortales: A − B = Ø

• Sócrates es hombre: a ∈ A

• Sócrates es mortal: a ∈ B

Por tanto, la forma lógica del argumento es:

{ A − B = Ø, a ∈ A } ⊨ a ∈ B

Ejemplo 2. Representación del razonamiento Todos los hombres son mortales. Dumbo es mortal. Luego Dumbo es un hombre.

• Conjunto de los hombres: A

• Conjunto de los seres mortales: B

• Dumbo: a

• Todos los hombres son mortales: A − B = Ø

• Dumbo es mortal: a ∈ B

• Dumbo es un hombre: a ∈ A

Luego la forma lógica del argumento es:

{ A − B = Ø, a ∈ B } ⊨ a ∈ A

Las fórmulas resaltan los parecidos y diferencias entre los dos argumentos. ¿Cuál de ellos es válido? ¿Cuál no? y sobre todo ¿Podemos demostrar de algún modo nuestras respuestas?

Un modo de responder a estas preguntas es dibujar en un solo diagrama las dos premisas y, sin dibujar la conclusión, comprobar que lo que la conclusión dice está ya dibujado por haber dibujado las premisas.

Demostración gráfica de la validez o invalidez de LOS razonamientos

Mediante la representación gráfica de las fórmulas que expresan el significado de los enunciados podemos demostrar si un razonamiento es válido o inválido.

Los pasos a dar son los siguientes:

1. Expresar el significado de los enunciados que forman el razonamiento con fórmulas de la lógica de clases. Es decir formalizar o formular. Para ello empleamos los esquemas de los cuatro tipos de enunciados ya vistos.

2. Representar gráficamente las premisas del razonamiento en un mismo diagrama (no en dos diagramas separados), dibujando primero una premisa y luego la otra. Pero solamente las premisas, no la conclusión.

3. A la vista del diagrama resultante, decidir:

   1. Si la conclusión se encuentra ya representada en el diagrama por haber representado las premisas, el razonamiento es válido.

   2. Si es posible no representar la conclusión pero sí las premisas, el razonamiento es inválido.

Ejemplo 1 

Ejemplo 2

Ejemplo 3

• Premisas: Ningún cometa tiene un núcleo metálico. Algunos asteroides tienen un núcleo metálico.

• Conclusión: Algunos asteroides no son cometas

Formalización

• Cometas: C

• Tener un núcleo metálico: N

• Asteroides: A

• Ningún cometa tiene un núcleo metálico: C ∩ N = Ø

• Algunos asteroides tienen un núcleo metálico: A ∩ N ≠ Ø

• Algunos asteroides no son cometas: A − C ≠ Ø

A la vista del diagrama final, con ambas premisas dibujadas, podemos ver que la conclusión A − C ≠ Ø se encuentra ya dibujada. En la zona A − C del diagrama ya hay un individuo, por tanto es una zona no vacía: A − C ≠ Ø.

En conclusión, el argumento es válido: { C ∩ N = Ø, A ∩ N ≠ Ø } ⊨ A − C ≠ Ø

Ejemplo 4

• Premisas: Todas las guerras tienen una causa. Algunos enfrentamientos no son guerras

• Conclusión: Algunos enfrentamientos tienen una causa

Formalización

• Guerras: G

• Tener una causa: C

• Enfrentamientos: E

• Todas las guerras tienen una causa: G − C = Ø

• Algunos enfrentamientos no son guerras: E − G ≠ Ø

• Algunos enfrentamientos tienen una causa: E ∩ C ≠ Ø

En el ejemplo 3, la representación gráfica de las dos premisas C ∩ N = Ø y A ∩ N ≠ Ø, lleva sin más a representar la conclusión A − C ≠ Ø. No era posible representar las premisas y no representar al mismo tiempo la conclusión. Es decir, el razonamiento es válido y existe relación de consecuencia:

{ C ∩ N = Ø, A ∩ N ≠ Ø } ⊨ A − C ≠ Ø

Sin embargo, en el ejemplo 4 la representación gráfica de las dos premisas G − C = Ø y E − G ≠ Ø, no lleva necesariamente a representar la conclusión E ∩ C ≠ Ø. El elemento x puede estar en una de dos zonas posibles, en una de ellas (en verde) se representa la conclusión, en la otra (en rojo) no. Y si el elemento x está en esa segunda zona (en rojo), la conclusión no se cumple, no es necesario.

Por tanto el razonamiento del ejemplo 4 es inválido y no existe relación de consecuencia:

{ G − C = Ø, E − G ≠ Ø } ⊭ E ∩ C ≠ Ø

Otros ejemplos