Argumentos proposicionales
Formalización de razonamientos
Una vez conocido el lenguaje formal de la lógica de proposiciones, podemos demostrar rigurosamente la validez de los argumentos puestos como ejemplos al inicio de esta unidad. El primer paso para llegar esa demostración es formalizar (es decir, poner en fórmulas) el argumento cuya validez queremos estudiar.
Veamos cada uno de los siguientes ejemplos.
Ejemplo 1
Lloverá o habrá tormenta
No lloverá
Por tanto, habrá tormenta
Asignación de variables proposicionales para la formalización:
Lloverá : p
Habrá tormenta : q
Nota: Asignar una u otra variable proposicional a cada enunciado simple carece de importancia. Cualquier asignación es igualmente válida, siempre que se aplique consistentemente. Es decir, el mismo enunciado simple será siempre representado por la misma variable. Pero que esta variable sea p, q o r, carece de importancia para lo que sigue después.
Formalización:
Lloverá o habrá tormenta : p ∨ q
No lloverá : ¬p
Por tanto, habrá tormenta : q
{ p ∨ q, ¬p } ⊨ q
Ejemplo 2
Si vendo la casa, podré comprar una moto y podré irme de viaje
Vendo la casa
Por tanto, podré irme de viaje
Asignación de variables proposicionales para la formalización:
Vendo la casa: p
Podre comprar una moto: q
Podré irme de viaje: r
Formalización:
Si vendo la casa, podré comprar una moto y podré irme de viaje: p → (q ∧ r)
Vendo la casa: p
Por tanto, podré irme de viaje: r
{ p → (q ∧ r), p } ⊨ r
Ejemplo 3
Si como sano y hago ejercicio, tendré salud
No tengo salud
Así que no hago ejercicio.
Asignación de variables para la formalización:
Como sano : p
Hago ejercicio : q
Tendré salud : r
Formalización:
Si como sano y hago ejercicio, tendré salud: (p ∧ q) → r
No tengo salud: ¬r
Así que no hago ejercicio: ¬q
{ (p ∧ q) → r, ¬r } ⊨ ¬q
Ecuaciones lógicas
Una técnica para analizar los anteriores ejemplos una vez formalizados y demostrar que la conclusión es consecuencia lógica (o no lo es) de las premisas se puede resumir en los siguientes pasos:
Plantear un sistema de ecuaciones lógicas compuesto por:
Una ecuación para cada fórmula premisa, asignándola el valor verdadero (V)
Una ecuación para la fórmula conclusión, asignándola el valor falso (F)
Tratar de resolver ese sistema de ecuaciones. Es decir, tratar de hallar los valores de las variables proposicionales que cumplen dicho sistema. Para ello aplicamos repetidas veces estas dos operaciones:
Podemos hallar el valor de una variable aplicando la tabla de verdad de la conectiva principal que aparecen en la ecuación.
Por ejemplo, en la ecuación p → q = F podemos hallar que p = V y que q = F, puesto que estos valores de las variables p y q son los únicos posibles para hacer que p → q = F.
Por ejemplo, en la ecuación p ∧ q = V podemos hallar que p = V y que q = V por el mismo motivo.
Podemos sustituir en una ecuación una variable por su valor, si lo conocemos.
Por ejemplo, si conocemos que la variable p = V, podemos sustituirla en la ecuación (p ∧ q) → r = V y producir la nueva ecuación (V ∧ q) → r = V
Por ejemplo, si conocemos que p = V y que q = F, podemos sustituirlas en la ecuación (p ∧ q) → r = V y producir la nueva ecuación (V ∧ F) → r = V. En esta segunda ecuación, sabemos por la definición de la conectiva conjunción que V ∧ F = F, por tanto podemos sustituir la fórmula V ∧ F por su valor, produciendo una nueva ecuación: F → r = V.
Estas dos operaciones son aplicadas repetidas veces, produciendo ecuaciones cada vez más simples hasta llegar a ecuaciones elementales que asignan un valor de verdad (V o F) a todas las variables del sistema de ecuaciones.
Si logramos resolver el sistema de ecuaciones, habremos demostrado que no hay relación de consecuencia lógica entre premisas y conclusión, puesto que hemos podido hacer verdaderas a las primeras y falsa a la segunda.
Logramos resolver un sistema de ecuaciones lógicas cuando hallamos los valores de todas sus variables que logran cumplir todas las ecuaciones del sistema sin violar la definición de ninguna conectiva lógica.
Por el contrario, si no logramos resolver el sistema de ecuaciones, habremos demostrado que sí hay relación de consecuencia lógica entre premisas y conclusión: no es posible que las premisas sean verdaderas y que la conclusión sea falsa. No logramos resolver un sistema de ecuaciones lógicas cuando sucede una de estas dos situaciones:
Una misma variable debe tomar valores distintos en distintas ecuaciones del sistema. Esto es un error, puesto que una misma variable debe tomar un mismo valor en todas las ecuaciones en las que aparezca.
La definición de una conectiva (su tabla de verdad) no se cumple en alguna ecuación del sistema.
Llegamos a una ecuación sin sentido, como V = F o como F = V.
Ejemplo 1
¿ { p ∨ q, ¬p } ⊨ q ?
¿Es posible que p ∨ q = V y ¬p = V pero q = F ? ¿Es posible encontrar una solución para este sistema de ecuaciones?
p ∨ q = V
¬p = V
q = F
Igual que los sistemas de ecuaciones matemáticas, resolver este sistema consiste en hallar los valores de las variables que aparecen en él.
E igual que los sistemas de ecuaciones matemáticas, podemos empezar a resolverlo por la ecuación que queramos.
q = F . Esta ecuación no necesita ningún desarrollo, pues la variable que aparece en ella tiene ya un valor. Es decir, ya sabemos que para resolver el sistema la variable q toma el valor F.
¬p = V ⇨ p = F (hemos hallado el valor de la variable p a partir del de ¬p).
Empleamos el símbolo ⇨ para indicar el paso de una ecuación a otra, bien porque:
Hemos hallado el valor de una variable al aplicar una operación, o bien porque:
Hemos sustituido una variable por su valor.
p ∨ q = V ⇨ F ∨ F = V (sustituyendo p por F y q por F, hallados en las dos ecuaciones anteriores). A continuación dado que F ∨ F = F, sustituimos la expresión F ∨ F por F y obtenemos F = V . Esta última ecuación es una contradicción, es imposible.
Los tres desarrollos que hemos hecho de las tres fórmulas del inicial sistema de ecuaciones no admiten alternativa. No es posible un desarrollo alternativo, así que no hay solución al sistema planteado. Así pues, es imposible hacer a las dos premisas verdaderas y a la conclusión falsa. Ha quedado así demostrado que hay relación de consecuencia lógica entre premisas y conclusión:
{ p ∨ q, ¬q } ⊨ p
Ejemplo 2
¿ { p → (q ∧ r), p } ⊨ r ?
¿Es posible que p → (q ∧ r) = V y p = V pero r = F? Veamos el sistema de ecuaciones:
p → (q ∧ r) = V
p = V
r = F
Para resolverlo, basta sustituir los valores de p y r (ya conocidos gracias a las ecuaciones 2. y 3.) por sus valores (p = V y r = F) en la ecuación 1:
p → (q ∧ r) = V ⇨ V → (q ∧ F) = V ⇨ q ∧ F = V (Si la implicación es V y su condición es V, es forzoso que la consecuencia sea V también).
Pero la ecuación q ∧ F = V no tiene solución. Al ser una conjunción con valor V, requiere que ambos factores sean V, pero uno ya es F. Y si calculamos que en la fórmula q ∧ F el resultado será siempre F valga lo que valga la variable q, el resultado es F = V, una ecuación imposible.
Es imposible hacer a las dos premisas verdaderas y a la conclusión falsa. Por tanto, ha quedado demostrado que hay relación de consecuencia lógica entre premisas y conclusión:
{ p → (q ∧ r), p } ⊨ r
Ejemplo 3
¿ { (p ∧ q) → r , ¬r } ⊨ ¬q ?
¿Es posible que (p ∧ q) → r = V y ¬r = V pero ¬q = F ? Veamos el sistema de ecuaciones que expresa esta posibilidad:
(p ∧ q) → r = V
¬r = V
¬q = F
En las ecuaciones 2. y 3. podemos despejar fácilmente los valores de r y de q:
¬r = V ⇨ r = F
¬q = F ⇨ q = V
Para a continuación sustituir estas variables en la ecuación 1:
(p ∧ q) → r = V ⇨ (p ∧ V) → F = V. Sustituyendo r/V y q/V
(p ∧ V) → F = V ⇨ p ∧ V = F Si la implicación es V y su consecuencia es F, sólo queda la posibilidad de que su condición sea también F.
p ∧ V = F ⇨ p = F Si la conjunción es igual a F y uno de sus factores es V, el otro ha de ser forzosamente F.
Esta vez es posible hacer verdaderas a las dos fórmulas premisas y al mismo tiempo hacer falsa a la conclusión. El sistema planteado tiene solución, las variables toman los siguientes valores de verdad: p = F ; q = V ; r = F. Con estos valores, las tres ecuaciones se cumplen sin errores.
Por tanto, ha quedado demostrado que no hay relación de consecuencia lógica entre premisas y conclusión:
{ (p ∧ q) → r, ¬r } ⊭ ¬q
Cálculo de deducción natural
El cálculo de deducción natural es otra técnica para demostrar que una fórmula se deduce lógicamente de una teoría. A diferencia de la técnica anterior, que explora las condiciones en las que las fórmulas son verdaderas o falsas, esta nueva técnica se fija en la forma lógica de las fórmulas.
En una demostración vamos transformando las fórmulas iniciales mediante reglas simples, de modo que cada transformación es sencilla de comprender. Tras un número de transformaciones, llegamos a la fórmula que queremos demostrar.
Estructura de una demostración
Una demostración es una secuencia finita de pasos de demostración. Cada paso de demostración consiste en:
Un número de orden. Toda demostración empieza en el paso número 1.
Una fórmula.
Una justificación de la fórmula. Esta justificación puede de una de las tres siguientes:
La fórmula es una premisa de la teoría.
La fórmula resulta de la aplicación de una regla de deducción sobre fórmulas previas en la secuencia de demostración.
La fórmula es un supuesto.
Inicio y terminación de una demostración
Una demostración se inicia con las fórmulas que son las premisas del argumento. Una demostración termina cuando llegamos a la fórmula que queremos probar. Mientras no llegamos a esa fórmula, añadiremos nuevos pasos a la demostración en curso. Cada paso de demostración resulta de aplicar una regla de demostración a algunas de las fórmulas anteriores.
Una demostración típica es una secuencia que se inicia con las fórmulas premisas y tiene como última fórmula de la conclusión del argumento. Por ejemplo, para demostrar que:
{ p → (q ∧ r), p } ⊢ r
La demostración tendrá el siguiente aspecto general:
1. p → (q ∧ r) .............. Premisa
2. p ........................ Premisa
3. ...
...
...
n. r
Reglas de demostración
¿Qué reglas de demostración podemos aplicar? Hay un número reducido de reglas, cada una nos permite hacer una sencilla transformación:
Estrategias de demostración
El cálculo de deducción natural proporciona un pequeño conjunto de reglas pero ninguna indicación precisa de qué regla aplicar en cada paso de demostración: el demostrador puede elegir aplicar cualquiera de las reglas disponibles sobre cualquiera de las fórmulas de los pasos anteriores.
Cuando la demostración es particularmente sencilla, logramos llegar a la conclusión simplemente aplicando las pocas reglas que pueden aplicarse a las premisas. Por ejemplo, la demostración esbozada anteriormente puede completarse con un par de pasos intermedios:
1. p → (q ∧ r) ........... Premisa
2. p ..................... Premisa
3. q ∧ r ................. Eliminación implicación 1,2
4. r ..................... Eliminación conjunción 3
Pero en la mayor parte de los casos, la demostración no es tan simple y es necesaria alguna guía general antes de comenzar a dar pasos de demostración. Dado que el objetivo de toda demostración es llegar a la fórmula conclusión, dependiendo del tipo de fórmula que queramos demostrar podemos plantear una u otra estrategia.
Estrategia para demostrar una conjunción
Para demostrar una conjunción, tratamos primero de llegar a cada una de las dos sub-fórmulas que la componen, para a continuación aplicar la regla de introducción de la conjunción sobre ellas.
Ejemplo: { p → (q ∧ r), q → s, p } ⊢ q ∧ s
1. p → (q ∧ r) ......... Premisa
2. q → s ............... Premisa
3. p ................... Premisa
4. q ∧ r ............... Eliminación implicación 1,3
5. q ................... Eliminación conjunción 4
6. s ................... Eliminación implicación 2,5
7. q ∧ s ............... Introducción implicación 5,6
Estrategia para demostrar una implicación
Para demostrar una implicación, comenzamos por introducir como supuesto la fórmula condición de la implicación y tratamos de llegar a la fórmula consecuencia para a continuación aplicar la regla de introducción de la implicación.
Ejemplo: { p → (¬q ∧ r), s } ⊢ p → (¬q ∧ s)
1. p → (¬q ∧ r) .......... Premisa
2. s ..................... Premisa
3. p .................. Supuesto
4. ¬q ∧ r ............. Eliminación implicación 1,3
5. ¬q ................. Eliminación conjunción 4
6. ¬q ∧ s ............. Introducción conjunción 2,5
7. p → (¬q ∧ s) .......... Introducción implicación 3-6
Estrategia para demostrar una negación
Para demostrar una fórmula negada (¬A), debemos llegar a una implicación que tenga como condición a esa fórmula sin negar (A) y como consecuencia una conjunción de una fórmula cualquiera (B) y su negación (¬B). Es decir, debemos conseguir la implicación: A → (B ∧ ¬B).
A su vez, para conseguir esta implicación debemos aplicar la estrategia que conduce a obtener una implicación: debemos introducir la fórmula A como supuesto y llegar a la fórmula B ∧ ¬B.
Ejemplo: { p → q, (r ∨ p) → ¬q } ⊢ ¬p
1. p → q .................. Premisa
2. (r ∨ p) → ¬q ........... Premisa
3. p ................... Supuesto
4. q ................... Eliminación implicación 1,3
5. r ∨ p ............... Introducción disyunción 3
6. ¬q .................. Eliminación implicación 2,5
7. q ∧ ¬q .............. Introducción conjunción 4,6
8. p → (q ∧ ¬q) ........... Introducción implicación 3-7
9. ¬p ..................... Introducción negación 8
Ejercicios
En cada uno de estos ejercicios se deben realizar las siguientes tareas:
1º. Representar mediante fórmulas de la lógica proposicional las premisas y la conclusión.
2º. Analizar si es posible que la premisas sean verdaderas y la conclusión falsa.
3º. Decidir si el razonamiento es válido o inválido a la vista del anterior análisis.
4º. En caso de que sea válido, construir una demostración en el cálculo de deducción natural.
Están marcados con un asterisco (*) los razonamientos más complejos.
1. Si los españoles son europeos, los extremeños también lo son; los españoles son europeos. Por consiguiente, los extremeños también son europeos.
2. Si Sevilla está en Andalucía, Barcelona está en Cataluña; Barcelona está en Cataluña. Luego Sevilla está en Andalucía.
3. Si la niebla en Londres tiene cierto encanto, pasarás frío o tendrás un desagradable encuentro con Jack. La niebla en Londres tiene cierto encanto. Por consiguiente, pasarás frío o tendrás un desagradable encuentro con Jack.
4. Si alquilas un garaje, entonces es que tienes coche. No alquilas un garaje. En consecuencia, no tienes coche.
5. Pasarás frío o tendrás un desagradable encuentro con Jack, si consideras que la niebla de Londres tiene encanto, que lo tiene. Así que pasarás frío.
6. Juan no llora pero gimotea siempre que Luisa se marcha. Luisa se marcha. Por tanto, Juan no llora aunque sí gimotea.
7*. O el testigo no dice la verdad o Juan estaba en la casa antes de cometerse el crimen. Si Juan estaba en la casa antes de cometerse el crimen, vio al criminal. Si vio al criminal, sabe que no pudo ser el mayordomo. Por tanto, si el testigo dice la verdad, Juan vio al criminal y sabe que no pudo ser el mayordomo.
8*. O bien el amor es ciego y los hombres no son conscientes de que el amor es ciego, o bien el amor es ciego y las mujeres sacan ventaja de ello. Si los hombres no son conscientes de que el amor es ciego, entonces el amor no es ciego. En conclusión, las mujeres sacan ventaja de ello.
9*. Si Guillermo estudia, obtiene buenas notas. Si no estudia, lo pasa bien en el colegio. Si no saca buenas notas, no lo pasa bien en el colegio. Así pues, Guillermo obtiene buenas notas.
10*. O Juan va a París o no se queda en casa. Si viaja en barco, no va a París. Por consiguiente, si Juan se queda en casa, no viaja en barco.
11*. Si Cuba no abandona el comunismo, EEUU no suspenderá el bloqueo. O Cuba no abandona el comunismo o encuentra aliados en oriente. Si Cuba encuentra aliados en oriente, la economía cubana no se recuperará. Por tanto, no es cierto que, EEUU suspenda el bloqueo y la economía cubana se recupere.
12*. No puede suceder a la vez que Serbia declare su independencia y Croacia no lo haga. Si Serbia declara su independencia, Yugoslavia tomará medias. Si Croacia declara su independencia, Yugoslavia no tomará medidas. Así pues, Serbia no declarará su independencia.
13*. Cuando Eduardo no juega al baloncesto, juega al tenis. Siempre que juega al tenis, juega al fútbol. Pero no juega al fútbol. Por tanto, Eduardo juega al baloncesto.
14. Si la tormenta continúa o anochece, nos quedamos a cenar o a dormir. Si nos quedamos a cenar o a dormir, no iremos mañana al concierto. Pero sí iremos al concierto. Por tanto, la tormenta no continúa.
15*. Si no es cierto que se puede ser rico y dichoso a la vez, entonces la vida está llena de frustraciones y no es un camino de rosas. Si se es feliz, no se puede tener todo. Por consiguiente, la vida está llena de frustraciones.
16. Si el tren llega a las 7 y no hay taxis en la estación, entonces Juan llegará tarde a la reunión. Juan no ha llegado tarde a la reunión. El tren llegó a las 7. Por tanto, había taxis en la estación.
17. Si hay corriente y la lámpara no está fundida, entonces está encendida. La lámpara no está encendida. Hay corriente. Por tanto, la lámpara está fundida.
18. Si Juan es andaluz, entonces Juan es europeo. Juan es europeo. Por tanto, Juan es andaluz.
19. Cuando tanto la temperatura como la presión atmosférica permanecen contantes, no llueve. La temperatura permanece constante. En consecuencia, en caso de que llueva, la presión atmosférica no permanece constante.
20. Siempre que un número 'n' es divisible por 10, acaba en 0. El número 'n' no acaba en 0. Luego, n no es divisible por 10.
21. Si Carlos no está en la barbería, entonces ocurrirá que si tampoco está Alberto, Benito tendrá que estar para atender el establecimiento. Si Alberto no está, tampoco estará Benito. Luego Carlos no puede estar ausente.
22. Siempre que canto, llueve. Hoy no cantaré. Luego hoy no lloverá.
23?. Es necesario dormir para roncar. Oigo ronquidos y me desvelo. Luego alguien duerme pero yo no consigo dormir.
24*. Que llueva y haga sol son condiciones necesarias para tener una buena cosecha. Basta con que haga sol para que el turismo se anime. O evitamos el calentamiento global o no llueve. Tenemos una buena cosecha. En conclusión, el turismo se anima y evitamos el calentamiento global.
25. Cuando quieres, tienes tiempo. Si tienes tiempo, puedes. Así pues, si quieres puedes.
26. Cuando me calzo el pie derecho, me calzo también el pie izquierdo. Cuando tengo desnudo el pie derecho, tengo mala suerte. Cuando me calzo el izquierdo, también. O me calzo el pie derecho o no me lo calzo. En conclusión, tengo mala suerte.
27*. Viajar con Ryanair equivale a llevarse un disgusto. Si te llevas un disgusto, no disfrutas del viaje y además discutes con la azafata. Pero resulta que no discutes con la azafata. Por tanto, no viajas con Ryanair.
28. Si viajas de noche, llegarás antes o no llegarás nunca. Tanto si quieres como si no, viajarás de noche. Por tanto, no llegarás nunca.
29. Consigo llegar a tiempo cuando voy en metro y salgo con tiempo suficiente. Voy en metro y nunca llego nervioso a mis citas. Cuando no salgo con tiempo suficiente voy nervioso a mis citas. En conclusión, consigo llegar a tiempo.
30*. Cuando jugamos con cartas marcadas siempre pierdo y además me enfado. Pero cuando jugamos con una baraja legal, no me enfado aunque también pierdo siempre. O jugamos con una baraja marcada o con una baraja legal. En definitiva, pierdo siempre.
31*. María se salvará si Pedro paga y Nuria no habla con la policía. Pedro paga si y sólo si tiene suficiente dinero en casa. Si a Nuria le entra miedo, hablará con la policía. Pedro tiene dinero suficiente y a Nuria no le entra miedo. En consecuencia, María se salvará.