Formalización de razonamientos

Una vez conocido el lenguaje formal de la lógica de proposiciones, podemos demostrar rigurosamente la validez de los argumentos puestos como ejemplos al inicio de esta unidad. El primer paso para llegar esa demostración es formalizar (es decir, poner en fórmulas) el argumento cuya validez queremos estudiar.

Veamos cada uno de los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1

1. Lloverá o habrá tormenta

2. No lloverá

3. Por tanto, habrá tormenta

Asignación de variables proposicionales para la formalización: 

• Lloverá : p

• Habrá tormenta : q

Nota: Asignar una u otra variable proposicional a cada enunciado simple carece de importancia. Cualquier asignación es igualmente válida, siempre que se aplique consistentemente. Es decir, el mismo enunciado simple será siempre representado por la misma variable. Pero que esta variable sea p, q o r, carece de importancia para lo que sigue después. 

Formalización:

1. Lloverá o habrá tormenta : p ∨ q

2. No lloverá : ¬p

3. Por tanto, habrá tormenta : q

{ p ∨ q, ¬p } ⊨ q

Ejemplo 2

1. Si vendo la casa, podré comprar una moto y podré irme de viaje

2. Vendo la casa

3. Por tanto, podré irme de viaje

Asignación de variables proposicionales para la formalización: 

• Vendo la casa: p

• Podre comprar una moto: q

• Podré irme de viaje: r

Formalización:

1. Si vendo la casa, podré comprar una moto y podré irme de viaje: p → (q ∧ r)

2. Vendo la casa: p

3. Por tanto, podré irme de viaje: r

{ p → (q ∧ r), p } ⊨ r

Ejemplo 3

1. Si como sano y hago ejercicio, tendré salud

2. No tengo salud

3. Así que no hago ejercicio.

Asignación de variables para la formalización: 

• Como sano : p

• Hago ejercicio : q

• Tendré salud : r

Formalización:

1. Si como sano y hago ejercicio, tendré salud: (p ∧ q) → r

2. No tengo salud: ¬r

3. Así que no hago ejercicio: ¬q

{ (p ∧ q) → r, ¬r } ⊨ ¬q

Ecuaciones lógicas

Una técnica para analizar los anteriores ejemplos una vez formalizados y demostrar que la conclusión es consecuencia lógica (o no lo es) de las premisas se puede resumir en los siguientes pasos:

1. Plantear un sistema de ecuaciones lógicas compuesto por:

   1. Una ecuación para cada fórmula premisa, asignándola el valor verdadero (V)

   2. Una ecuación para la fórmula conclusión, asignándola el valor falso (F)

2. Tratar de resolver ese sistema de ecuaciones. Es decir, tratar de hallar los valores de las variables proposicionales que cumplen dicho sistema. Para ello aplicamos repetidas veces estas dos operaciones:

• • Hallar el valor de una variable aplicando la tabla de verdad de la conectiva principal que aparece en la ecuación.

    • Por ejemplo, en la ecuación p → q = F podemos hallar que p = V y que q = F, puesto que estos valores de las variables p y q son los únicos posibles para hacer que p → q = F.

    • Por ejemplo, en la ecuación p ∧ q = V podemos hallar que p = V y que q = V.

    • Por ejemplo, en la ecuación p ∨ F = V podemos hallar que p = V.

  • Sustituir en una ecuación una variable por su valor (si lo conocemos) o una expresión compuesta por su valor (si lo calculamos) y operar a continuación.

    • Por ejemplo, si conocemos que la variable p = V, podemos sustituirla en la ecuación (p ∧ q) → r = V y producir la nueva ecuación (V ∧ q) → r = V

    • Por ejemplo, si conocemos que p = V y que q = F, podemos sustituirlas en la ecuación (p ∧ q) → r = V y producir la nueva ecuación (V ∧ F) → r = V. En esta segunda ecuación, sabemos por la definición de la conectiva conjunción que V ∧ F = F, por tanto podemos sustituir la fórmula V ∧ F por su valor, produciendo una nueva ecuación: F → r = V. A su vez, esta última ecuación requiere que r = F.

  • Estas dos operaciones son aplicadas repetidas veces, produciendo ecuaciones cada vez más simples hasta llegar a ecuaciones elementales que asignan un valor de verdad (V o F) a todas las variables del sistema de ecuaciones.

3. Si logramos resolver el sistema de ecuaciones, habremos demostrado que no hay relación de consecuencia lógica entre premisas y conclusión, puesto que hemos podido hacer verdaderas a las premisas y falsa a la conclusión.

• • Logramos resolver un sistema de ecuaciones lógicas cuando hallamos los valores de todas sus variables que logran cumplir todas las ecuaciones del sistema sin violar la definición de ninguna conectiva lógica.

4. Por el contrario, si no logramos resolver el sistema de ecuaciones, habremos demostrado que sí hay relación de consecuencia lógica entre premisas y conclusión: si mantenemos que las premisas son verdaderas, la única opción es que la conclusión sea también verdadera. Esa es justamente la definición de la relación de consecuencia lógica ( ⊨ ).

5.  No logramos resolver un sistema de ecuaciones lógicas cuando sucede una de estas situaciones:

   2. • Una misma variable debe tomar valores distintos en distintas ecuaciones del sistema. Esto es un error, puesto que una misma variable debe tomar un mismo valor en todas las ecuaciones en las que aparezca.

      • La definición de una conectiva (su tabla de verdad) no se cumple en alguna ecuación del sistema.

      • Llegamos a una ecuación sin sentido, como V = F o como F = V.

Ejemplo 1

¿ { p ∨ q, ¬p } ⊨ q ?

¿Es posible que p ∨ q = V y ¬p = V pero q = F ? ¿Es posible encontrar una solución para este sistema de ecuaciones?

1. p ∨ q = V

2. ¬p = V

3. q = F

Igual que los sistemas de ecuaciones matemáticas, resolver este sistema consiste en hallar los valores de las variables que aparecen en él.

E igual que los sistemas de ecuaciones matemáticas, podemos empezar a resolverlo por la ecuación que queramos.

• q = F . Esta ecuación no necesita ningún desarrollo, pues la variable que aparece en ella tiene ya un valor. Es decir, ya sabemos que para resolver el sistema la variable q debe tomar el valor F.

• ¬p = V ⇨ p = F (hemos hallado el valor de la variable p a partir del de ¬p).

Empleamos el símbolo ⇨ para indicar el paso de una ecuación a otra, bien porque:

1. Hemos hallado el valor de una variable al aplicar una operación, o bien porque:

2. Hemos sustituido una variable o una expresión compuesta por su valor.

• p ∨ q = V ⇨ F ∨ F = V (sustituyendo p por F y q por F, hallados en las dos ecuaciones anteriores). A continuación dado que F ∨ F = F, sustituimos la expresión F ∨ F por F y obtenemos F = V . Esta última ecuación es una contradicción, es imposible.

Los tres desarrollos que hemos hecho de las tres fórmulas del inicial sistema de ecuaciones no admiten alternativa. No es posible un desarrollo alternativo. Pero ese desarrollo nos ha llevado a una ecuación sin solución F = V. Por tanto no hay solución al sistema planteado.

Hemos demostrado que es imposible hacer a las dos premisas verdaderas y a la conclusión falsa. Manteniendo que las premisas fuesen verdaderas, la única alternativa es que la conclusión sea también verdadera. Pero justo esa es la definición de consecuencia lógica: si las premisas son verdaderas, la conclusión es necesariamente verdadera. 

Así pues, hemos demostrado que hay relación de consecuencia lógica entre premisas y conclusión:

{ p ∨ q, ¬q } ⊨ p

Ejemplo 2

¿ { p → (q ∧ r), p } ⊨ r ?

¿Es posible que p → (q ∧ r) = V y p = V pero r = F? Veamos el sistema de ecuaciones:

1. p → (q ∧ r) = V

2. p = V

3. r = F

Para resolverlo, basta sustituir los valores de p y r (ya conocidos gracias a las ecuaciones 2. y 3.) por sus valores (p = V y r = F) en la ecuación 1:

1. p → (q ∧ r) = V ⇨ V → (q ∧ F) = V ⇨ q ∧ F = V (Si la implicación es V y su condición es V, es forzoso que la consecuencia sea V también).

Pero la ecuación q ∧ F = V no tiene solución. Al ser una conjunción con valor V, requiere que ambos argumentos sean V, pero uno de ellos ya es F. Y si calculamos que en la fórmula q ∧ F el resultado será siempre F valga lo que valga la variable q, el resultado es F = V, una ecuación imposible. 

Es imposible hacer a las dos premisas verdaderas y a la conclusión falsa. Por tanto, ha quedado demostrado que hay relación de consecuencia lógica entre premisas y conclusión:

{ p → (q ∧ r), p } ⊨ r

Ejemplo 3

¿ { (p ∧ q) → r , ¬r } ⊨ ¬q ?

¿Es posible que (p ∧ q) → r = V y ¬r = V pero ¬q = F ? Veamos el sistema de ecuaciones que expresa esta posibilidad:

1. (p ∧ q) → r = V

2. ¬r = V

3. ¬q = F

En las ecuaciones 2. y 3. podemos despejar fácilmente los valores de r y de q:

• ¬r = V ⇨ r = F

• ¬q = F ⇨ q = V

Para a continuación sustituir estas variables en la ecuación 1:

• (p ∧ q) → r = V ⇨ (p ∧ V) → F = V. Sustituyendo r/F y q/V

• (p ∧ V) → F = V ⇨ p ∧ V = F  Si la implicación es V y su consecuencia es F, sólo queda la posibilidad de que su condición sea también F.

• p ∧ V = F ⇨ p = F  Si la conjunción es igual a F y uno de sus factores es V, el otro ha de ser forzosamente F.

Esta vez es posible hacer verdaderas a las dos fórmulas premisas y al mismo tiempo hacer falsa a la conclusión. El sistema planteado tiene solución, las variables toman los siguientes valores de verdad: p = F ; q = V ; r = F. Con estos tres valores, las tres ecuaciones se cumplen sin errores.

Por tanto, ha quedado demostrado que no hay relación de consecuencia lógica entre premisas y conclusión:

{ (p ∧ q) → r, ¬r } ⊭ ¬q