La curva di Koch

Hegle von Kock (1870-1924) studiando il problema delle aree, trovò un esempio di curva chiusa, continua ma non differenziabile (derivabile), con perimetro infinito che limita un'area finita:

• Si parte da un segmento di lunghezza L
• Si divide il segmento in tre parti uguali
• Si sostituisce la parte centrale con i due lati di un triangolo equilatero
• Si itera il procedimento per ogni nuovo segmento

Di seguito un esempio a 4 iterazioni:

Koch aveva trovato una curva con tutte le caratteristiche di un frattale e, anche se non vide mai la curva finale elaborata da un calolatore, potè solo immaginare cosa si sarebbe ottenuto iterando con infiniti passi. Dalla curva frattale al fiocco di neve il passo è breve, basta costruire la curva sui 3 lati di un triangolo equilatero, come mostrato di seguito:

Qualsiasi rappresentazione grafica della curva sarà fatta con un numero finito di iterazioni della funzione ricorsiva che la genera, e mai si avrà l'opportunità di vedere la curva finale, quella ottenuta dopo infinite iterazioni. Tuttavia con l'uso di un computer, si possono creare figure che hanno, per il frattale vero e proprio, lo stesso valore rappresentativo che ha un segmento su un foglio per la rappresentazione della retta: un segmento disegnato su un foglio, infatti, non è una retta, ma solo una sua rappresentazione, così come la figura disegnata con un programma iterativo che fa n passi non è un frattale ma solo una buona approssimazione, che migliora al crescere di n.