Limiti
Il concetto di limite era già presente in modo intuitivo nell'antichità, per esempio da Archimede, ed è stato utilizzato, anche se non in modo rigoroso, a partire dalla fine del XVII secolo da Newton, Leibniz, Eulero e D'Alembert.
Tuttavia, la prima definizione di limite abbastanza rigorosa risale al XIX secolo con Cauchy, seguita dalla miglior formalizzazione di Weierstrass.
Una completa teoria del limite si ha solo grazie ad Heine, che nel 1872 pubblicò un lavoro che creò molto interesse all'epoca; Heine stilò infatti tutte le regole e proprietà riguardanti il limite. Molti altri studiosi si sono interessati al problema del limite, approfondendo l'argomento con lo studio dell'analisi infinitesimale, tra cui Bolzano, Dedekind e Cantor.
Per capire come una funzione matematica si evolve è necessario in introdurre il concetto di limite.
Il limite descrive l'andamento di una funzione tramite due concetti di fondamentale importanza:
- Avvicinarsi del suo argomento ad un dato valore
- Al crescere illimitato del suo argomento
Il concetto di limite è strettamente connesso a quello di limite di una successione
Data una funzione:
definita su un sottoinsieme della retta R e un punto X0 punto di accumulazione di X.
Un numero reale l è il limite di f(x) per x tendente a x0 se la distanza fra f(x) ed l è arbitrariamente piccola quando x si avvicina a x0.
La distanza fra i punti è misurata usando il valore assoluto della differenza: quindi |x − x0| è la distanza fra x e x0 e |f(x) − l | è la distanza fra f(x) ed l.
Alcuni limiti "fondamentali" detti limiti notevoli, di cui si conosce già il valore, consentono la risoluzione di altri limiti più complessi.