Numeri primi

I numeri primi sono i ‘mattoni’ dell’aritmetica dal punto di vista della moltiplicazione. Possono essere considerati il battito cardiaco irregolare della matematica.

Un intero positivo n si dice primo se ha esattamente due divisori positivi

Questa definizione di numero primo è diversa da quella che la maggior parte delle persone ricorda: un intero positivo n si dice primo se è divisibile solo per 1 e per se stesso.

Il motivo principale per cui si da questa definizione è che si vuole escludere il numero 1 dall’insieme dei numeri primi. Il numero 1 non è classificato.

I numeri primi sono importanti perchè sono alla base della struttura moltiplicativa dei numeri naturali: il Teorema Fondamentale dell’Aritmetica (tutti i numeri possono essere espressi come prodotto di fattori primi) assicura che ogni numero naturale si può ottenere moltiplicando fra loro opportuni numeri primi in uno ed un solo modo, a parte l’ordine in cui i fattori sono presi. Per questo motivo, gli interi n≥2 che non sono numeri primi si dicono composti.

Da sempre si è alla ricerca di una formula che possa restituire l'n-essimo numero primo con n arbitrario ma, a tutt'oggi nessuno l'ha ancora scoperta, anche se ci sono stati diverse formule proposte.

Anche per quanto riguarda le occorrenze di numeri primi minori di N sono stati effettuati molti studi; ad esempio la stima di Gauss è un'ottima approssimazione di quel valore.

Perchè il numero 1 non è un numero primo

Sono diverse le motivazioni che indicano di escludere il numero 1 dai numeri primi. Di seguito saranno elencate quelle principali:

• Il numero 1 ha un solo divisore, mentre tutti i numeri primi ne devono avere due.

• Molti teoremi, per esempio il Teorema Fondamentale dell’Aritmetica, dovrebbero essere enunciati in un modo molto più complicato per tener conto delle proprietà speciali di 1.

• Nel crivello di Eratostene, se il numero 1 fosse considerato primo si cancellerebbero tutti i numeri tranne lo stesso 1 al primo passo. Il crivello di Eratostene è essenzialmente il modo più semplice ed intuitivo per determinare tutti i numeri primi in un intervallo di interi consecutivi, ed è di valido ausilio nella ricerca di numeri primi grandi privi di forma particolare. Eratostene (276-194 a.C.), bibliotecario di Alessandria, che i più conoscono per aver misurato il raggio della Terra (in un tempo in cui pochi credevano che fosse sferica), ma che i teorici dei numeri ricorderanno per sempre per il suo crivello, un metodo che consiste in questo:
  1. Scrivere in ordine tutti i numeri naturali minori di N:
  2. cancellare tutti i multipli di 2 tranne 2,
  3. tra i rimanenti cancellare tutti i multipli di 3 tranne 3,
  4. e così via fino ad aver eliminato tutti i numeri composti.

Tutti i numeri rimasti saranno i numeri primi minori di N.

• Un’altra funzione importante è la funzione Ω = α₁ + α₂ + ... + α_k, che conta il numero totale dei fattori primi di un intero positivo n: se 1 fosse primo, potremmo includere nel membro destro della funzione la potenza 1^α, con α ∈ N arbitrario, e quindi Ω(n) sarebbe indeterminato.

• Nell’Algebra, gli elementi invertibili degli anelli (cioè quegli elementi a per i quali si può risolvere l’equazione ax=1) hanno uno status speciale. In Nl’unico elemento invertibile è proprio 1; esso va quindi trattato a parte.